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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0005
Eine von GAUss gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 5
wird der Punkt (^, ...,^) auf ein begrenztes Raumstück von
H Dimensionen eingeschränkt, und zwar besitzt ^ Grenz-
mannigfaltigkeiten von 72—1 Dimensionen, in denen je eine der
772 Funktionen verschwindet, während die andern 722 —1 positiv
ausfallen.
Zunächst bestimme man nach den bekannten Regeln den Punkt
(3^, ...,3^), der das absolute Minimum der Funktion
liefert. Wenn alsdann die Ausdrücke sämtlich >0
sind, so ist die Aufgabe gelöst, und es ist so gut, als ob gar keine
Ungleichheiten vorgelegt gewesen wären.
Im entgegengesetzten Falle liegt der gesuchte Punkt des
Minimums auf der Regrenzung des Raumstückes Um ihn zu
finden, gibt GAUSS folgende Vorschrift. Man gehe aus von einem
solchen Punkte (^, ...,^) der Regrenzung, in dem 72 der Funk-
tionen verschwinden, während die übrigen 772—72 positiv aus-
fallen, und bestimme die Richtung, in der man auf der Regren-
zung fortschreiten muß, damit die Funktion /(%i,am
schnellsten ab nimmt, das heißt, bei der eine gegebene un-
endlich kleine Änderung der Funktion / durch die geringste
Änderung des Wertesystems (^, erreicht wird. Wenn das
Wertesystem (^,...,^) in das Wertesystem (3y,...,%„) übergeht, so
gilt als Maß der Änderung die Summe der Quadrate der ein-
zelnen Änderungen, also die Größe
(2) (^1—+ —GÄ-
Alan erhält auf diese Art eine Kurve, die auf einer der 72 durch
den Ausgangspunkt gehenden Grenzmannigfaltigkeiten liegt.
Durchläuft man sie in dem Sinne, daß die Funktion / abnimmt,
so gelangt man entweder zu einem Punkt, wo das Abnehmen
ins Zunehmen übergeht, und dann ist die Aufgabe gelöst, oder
zu einem Punkt, wo die gewählte Grenzmannigfaltigkeit an eine
andere stößt und hat jetzt von neuem die Richtung zu bestim-
men, in der die Funktion / am schnellsten abnimmt. Diese Rich-
tung liegt entweder innerhalb der anstoßenden Grenzmannigfal-
tigkeit, auf der man dann weiter zu gehen hat, oder sie gehört
der (22—2)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit an, in der sich die
beiden (72—l)-fach ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten schnei-
den, und dann verläuft der nächste Teil der Untersuchung in dieser
(72—2)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit.
wird der Punkt (^, ...,^) auf ein begrenztes Raumstück von
H Dimensionen eingeschränkt, und zwar besitzt ^ Grenz-
mannigfaltigkeiten von 72—1 Dimensionen, in denen je eine der
772 Funktionen verschwindet, während die andern 722 —1 positiv
ausfallen.
Zunächst bestimme man nach den bekannten Regeln den Punkt
(3^, ...,3^), der das absolute Minimum der Funktion
liefert. Wenn alsdann die Ausdrücke sämtlich >0
sind, so ist die Aufgabe gelöst, und es ist so gut, als ob gar keine
Ungleichheiten vorgelegt gewesen wären.
Im entgegengesetzten Falle liegt der gesuchte Punkt des
Minimums auf der Regrenzung des Raumstückes Um ihn zu
finden, gibt GAUSS folgende Vorschrift. Man gehe aus von einem
solchen Punkte (^, ...,^) der Regrenzung, in dem 72 der Funk-
tionen verschwinden, während die übrigen 772—72 positiv aus-
fallen, und bestimme die Richtung, in der man auf der Regren-
zung fortschreiten muß, damit die Funktion /(%i,am
schnellsten ab nimmt, das heißt, bei der eine gegebene un-
endlich kleine Änderung der Funktion / durch die geringste
Änderung des Wertesystems (^, erreicht wird. Wenn das
Wertesystem (^,...,^) in das Wertesystem (3y,...,%„) übergeht, so
gilt als Maß der Änderung die Summe der Quadrate der ein-
zelnen Änderungen, also die Größe
(2) (^1—+ —GÄ-
Alan erhält auf diese Art eine Kurve, die auf einer der 72 durch
den Ausgangspunkt gehenden Grenzmannigfaltigkeiten liegt.
Durchläuft man sie in dem Sinne, daß die Funktion / abnimmt,
so gelangt man entweder zu einem Punkt, wo das Abnehmen
ins Zunehmen übergeht, und dann ist die Aufgabe gelöst, oder
zu einem Punkt, wo die gewählte Grenzmannigfaltigkeit an eine
andere stößt und hat jetzt von neuem die Richtung zu bestim-
men, in der die Funktion / am schnellsten abnimmt. Diese Rich-
tung liegt entweder innerhalb der anstoßenden Grenzmannigfal-
tigkeit, auf der man dann weiter zu gehen hat, oder sie gehört
der (22—2)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit an, in der sich die
beiden (72—l)-fach ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten schnei-
den, und dann verläuft der nächste Teil der Untersuchung in dieser
(72—2)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit.