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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0006
6 (A.ll)
PAUL STÄCKEL:
Indem man so fortfährt, gelangt man schließhch zu einem
Punkte einer (n—r)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkett, die durch
den Schnitt von r der Mannigfaltigkeiten <p^=0 bestimmt ist und
auf der die übrigen 77?—r Funktionen cp,^ positiv ausfallen, von der
Beschaffenheit, daß alle ,,möglichen" Änderungen mit einer Ver-
größerung der Funktion / verbunden sind, und damit ist die
Stelle des Minimums gefunden.
Die r Pingleichheiten > 0, die zu der zuletzt auftretenden
(n—r)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit gehören, heißen die
,,wirksamen" Plngleichheitcn, denn die Lösung der Aufgabe
würde genau die nämliche gewesen sein, wenn die wirksamen
Pingleichheiten als Gleichungen vorgelegt, die übrigen aber von
vornherein weggelassen worden wären.
§2
Das Daumstück <S„
Wenn nunmehr den Andeutungen nachgegangen wird, die
uns über die Gedanken von Gvuss überliefert sind, so möge man
darin keine Kritik, sondern nur Ergänzungen sehen, die aller-
dings unentbehrlich sind, wenn das Verfahren mit Erfolg durch-
geführt werden soll.
Zunächst ist die durch die Ungleichheiten (1) er-
klärte Wertemenge genauer zu untersuchen. Dabei möge
von der Voraussetzung abgesehen werden, daß 77? > 7? ist, vielmehr
w ganz beliebig bleiben. Dagegen soll die vereinfachende An-
nahme gemacht werden, daß es ein Wertesystem (%, ...,u^) gibt,
für das die 77? Funktionen ^ positiv sind; wollte man hier die
volle Allgemeinheit wahren, so würden sehr umständliche Be-
trachtungen erforderlich werden. Aus der vorauszusetzenden
Stetigkeit der Funktionen (p folgt dann, daß es eine zusammen-
hängende 7?-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit gibt, die den
Punkt (%!,...in ihrem Innern enthält und für deren innere
Punkte die Pingleichheiten (1) gelten, während für jeden Punkten
der (7r--l)-fach ausgedehnten Begrenzung mindestens eine der
Funktionen <p,^ verschwindet; es ist möglich, daß es (7? —l)-fach
ausgedehnte Teile der Begrenzung gibt, in denen gleichzeitig
mehrere der Funktionen (p^ gleich Null sind.
PAUL STÄCKEL:
Indem man so fortfährt, gelangt man schließhch zu einem
Punkte einer (n—r)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkett, die durch
den Schnitt von r der Mannigfaltigkeiten <p^=0 bestimmt ist und
auf der die übrigen 77?—r Funktionen cp,^ positiv ausfallen, von der
Beschaffenheit, daß alle ,,möglichen" Änderungen mit einer Ver-
größerung der Funktion / verbunden sind, und damit ist die
Stelle des Minimums gefunden.
Die r Pingleichheiten > 0, die zu der zuletzt auftretenden
(n—r)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit gehören, heißen die
,,wirksamen" Plngleichheitcn, denn die Lösung der Aufgabe
würde genau die nämliche gewesen sein, wenn die wirksamen
Pingleichheiten als Gleichungen vorgelegt, die übrigen aber von
vornherein weggelassen worden wären.
§2
Das Daumstück <S„
Wenn nunmehr den Andeutungen nachgegangen wird, die
uns über die Gedanken von Gvuss überliefert sind, so möge man
darin keine Kritik, sondern nur Ergänzungen sehen, die aller-
dings unentbehrlich sind, wenn das Verfahren mit Erfolg durch-
geführt werden soll.
Zunächst ist die durch die Ungleichheiten (1) er-
klärte Wertemenge genauer zu untersuchen. Dabei möge
von der Voraussetzung abgesehen werden, daß 77? > 7? ist, vielmehr
w ganz beliebig bleiben. Dagegen soll die vereinfachende An-
nahme gemacht werden, daß es ein Wertesystem (%, ...,u^) gibt,
für das die 77? Funktionen ^ positiv sind; wollte man hier die
volle Allgemeinheit wahren, so würden sehr umständliche Be-
trachtungen erforderlich werden. Aus der vorauszusetzenden
Stetigkeit der Funktionen (p folgt dann, daß es eine zusammen-
hängende 7?-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit gibt, die den
Punkt (%!,...in ihrem Innern enthält und für deren innere
Punkte die Pingleichheiten (1) gelten, während für jeden Punkten
der (7r--l)-fach ausgedehnten Begrenzung mindestens eine der
Funktionen <p,^ verschwindet; es ist möglich, daß es (7? —l)-fach
ausgedehnte Teile der Begrenzung gibt, in denen gleichzeitig
mehrere der Funktionen (p^ gleich Null sind.