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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0007
Eine von GAUss gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 7
Die durch die Ungleichheiten (1) erklärte Punktmenge kann
Punkte enthalten, die dem Raumstück A^ nicht angehören; solche
Punkte werden ihrerseits zusammenhängende Mannigfaltigkeiten
bilden, deren Dimensionenzahl zwischen 7? und 0 liegt. Für jede
von ihnen ist dieselbe Untersuchung anzustellen, wie sie hier für
das Raumstück A„ durchgeführt wird; dabei macht die Anzahl
der Dimensionen keinen wesentlichen Unterschied.
in jedem Punkte der (77—l)-fach ausgedehnten Begrenzung
des Raumstückes A„ verschwindet mindestens eine der Funk-
tionen (py. Wenn aber umgekehrt eine der Funktionen cp^ gleich
Null ist, so kann das außerhalb des Raumstückes A„, innerhalb
und auf der Regrenzung geschehen. Die Punkte, in denen eine
bestimmte Funktion auf der Regrenzung verschwindet, brauchen
keine (77—1)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten zu bilden. Hat
man zum Reispiel für 77=3 die Funktionen
(3) cp^ = ^Tj, (pg = ^g?
so besteht die Regrenzung von & aus zwei durch die a^-Achse
gehenden Halbebenen, auf denen beziehungsweise (p^ und % ver-
schwinden, und % verschwindet nur in der ^g-Achse. Man erkennt,
daß die dritte Pingleichheit überflüssig ist und weggelassen werden
darf. Dasselbe gilt auch allgemein, wenn die Punkte, in denen
eine Funktion (p^ auf der Begrenzung verschwindet, keine (77-l)-fach
ausgedehnte Mannigfaltigkeit bilden; denn wegen der Stetigkeit
der Funktionen <p^ gehören alle Punkte der Begrenzung von A^
zu (77 —l)-fachen Mannigfaltigkeiten, in denen eine der Funktionen
(pi, (pa, ...,(p^ verschwindet. Daß eine der weggelassenen Funk-
tionen etwa im Innern von A„ gleich Null ist, hat nichts zu sagen,
weil dadurch von A^ keine Punkte ausgeschlossen werden. Mithin
darf man von vornherein annehmen, daß die Begrenzung des
Raumstückes A„ aus 777 Mannigfaltigkeiten von 77—1 Dimensionen
besteht, in denen mindestens je eine der Funktionen cp^ verschwin-
det, und erhält so 777 Grenzflächen ...,F^. Wenn in einer
solchen Grenzfläche mehr als eine Funktion (p^ verschwindet,
ist es allerdings zweifelhaft, zu welcher der Funktionen man sie
rechnen soll. Jedoch gilt das immer nur für einen Teil der (77—1)-
fach ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten <p^=0, denn wenn für
jeden Punkt einer (77-l)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, die zu
der Begrenzung von A„ gehört und in dem verschwindet, noch
Die durch die Ungleichheiten (1) erklärte Punktmenge kann
Punkte enthalten, die dem Raumstück A^ nicht angehören; solche
Punkte werden ihrerseits zusammenhängende Mannigfaltigkeiten
bilden, deren Dimensionenzahl zwischen 7? und 0 liegt. Für jede
von ihnen ist dieselbe Untersuchung anzustellen, wie sie hier für
das Raumstück A„ durchgeführt wird; dabei macht die Anzahl
der Dimensionen keinen wesentlichen Unterschied.
in jedem Punkte der (77—l)-fach ausgedehnten Begrenzung
des Raumstückes A„ verschwindet mindestens eine der Funk-
tionen (py. Wenn aber umgekehrt eine der Funktionen cp^ gleich
Null ist, so kann das außerhalb des Raumstückes A„, innerhalb
und auf der Regrenzung geschehen. Die Punkte, in denen eine
bestimmte Funktion auf der Regrenzung verschwindet, brauchen
keine (77—1)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten zu bilden. Hat
man zum Reispiel für 77=3 die Funktionen
(3) cp^ = ^Tj, (pg = ^g?
so besteht die Regrenzung von & aus zwei durch die a^-Achse
gehenden Halbebenen, auf denen beziehungsweise (p^ und % ver-
schwinden, und % verschwindet nur in der ^g-Achse. Man erkennt,
daß die dritte Pingleichheit überflüssig ist und weggelassen werden
darf. Dasselbe gilt auch allgemein, wenn die Punkte, in denen
eine Funktion (p^ auf der Begrenzung verschwindet, keine (77-l)-fach
ausgedehnte Mannigfaltigkeit bilden; denn wegen der Stetigkeit
der Funktionen <p^ gehören alle Punkte der Begrenzung von A^
zu (77 —l)-fachen Mannigfaltigkeiten, in denen eine der Funktionen
(pi, (pa, ...,(p^ verschwindet. Daß eine der weggelassenen Funk-
tionen etwa im Innern von A„ gleich Null ist, hat nichts zu sagen,
weil dadurch von A^ keine Punkte ausgeschlossen werden. Mithin
darf man von vornherein annehmen, daß die Begrenzung des
Raumstückes A„ aus 777 Mannigfaltigkeiten von 77—1 Dimensionen
besteht, in denen mindestens je eine der Funktionen cp^ verschwin-
det, und erhält so 777 Grenzflächen ...,F^. Wenn in einer
solchen Grenzfläche mehr als eine Funktion (p^ verschwindet,
ist es allerdings zweifelhaft, zu welcher der Funktionen man sie
rechnen soll. Jedoch gilt das immer nur für einen Teil der (77—1)-
fach ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten <p^=0, denn wenn für
jeden Punkt einer (77-l)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, die zu
der Begrenzung von A„ gehört und in dem verschwindet, noch