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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0008
8 (A. 11)
PAUL STACK EL:
eine andere der Funktionen (p^, (p2,cp^ gleich Null wäre, wobei in
verschiedenen Teilen der Mannigfaltigkeit, verschiedene Funktionen
zu der betrachteten hinzutreten könnten, so darf diese wegge-
lassen werden. Daß Funktionen die an der Begrenzung von
keinen Anteil haben, nicht berücksichtigt zu werden brauchen,
ist selbstverständlich.
Nachdem so die Reihe der Funktionen <p,^ ausgesondert ist,
die für das Raumstück allein in Betracht kommen, sollen die
durch ihr Verschwinden gekennzeichneten Grenzflächen
genauer untersucht werden.
Jede Grenzfläche Fl, ist ihrerseits begrenzt von (72—2)-fach
ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten, in denen mindestens
je zwei der Funktionen (p,j, verschwinden. Es können aber darin
auch mehr als zwei dieser Funktionen gleich Null sein.
Alan wird weiter gehen und Grenzmannigfaltigkeiten erhalten,
die der Reihe nach von den Dimensionen 7? —2, 72—3,... sind. Wenn
772 >77 ist, kann man bis zu Grenzpunkten gelangen, in denen
mindestens 72 der Funktionen cp^ verschwinden, es braucht aber
auch in diesen Fällen keine solchen Punkte zu geben, und dann
läßt sich die Vorschrift nicht erfüllen, daß man bei der Wanderung
auf der Grenze von N„ von einem Punkt ausgehen soll, m dem 72
der Funktionen (p,^, verschwinden. Man überzeugt sich leicht, daß
dieser Ausnahmefall nur dann eintreten kann, wenn das Raum-
stück sich ins Unendliche erstreckt. Falls die Funktion
/(^i,...,:r„) eine im Endlichen liegende Stelle des Minimums be-
sitzt, wird man von einem solchen Raumstück durch eine Un-
gleichheit (p,n+i>0 einen im Endlichen liegenden Teil abschneiden
können, der die Stelle des Alinimums enthält, und so die Forderung
für den Ausgangspunkt zu erfüllen versuchen.
Aber auch wenn das Raumstück ganz im Endlichen liegt,
stößt man auf Schwierigkeiten. Betrachtet man zum Beispiel
ein Achtflach, das von acht Dreiecken gebildet wird, die zu je vier
in jeder der sechs Ecken zusammenstoßen, so gibt es sechs Grenz-
punkte, in denen je vier der Funktionen verschwinden, also mehr
als drei, wie es doch beim Ausgangspunkte gefordert wurde. In-
dessen hat die von GAUss vorgeschriebene Wahl des Ausgangs-
punktes für die Durchführung des Verfahrens keine wesentliche
Bedeutung und wurde von ihm wohl nur getroffen, um eine be-
stimmte Annahme zu machen. Es wird sich später ergehen, daß,
PAUL STACK EL:
eine andere der Funktionen (p^, (p2,cp^ gleich Null wäre, wobei in
verschiedenen Teilen der Mannigfaltigkeit, verschiedene Funktionen
zu der betrachteten hinzutreten könnten, so darf diese wegge-
lassen werden. Daß Funktionen die an der Begrenzung von
keinen Anteil haben, nicht berücksichtigt zu werden brauchen,
ist selbstverständlich.
Nachdem so die Reihe der Funktionen <p,^ ausgesondert ist,
die für das Raumstück allein in Betracht kommen, sollen die
durch ihr Verschwinden gekennzeichneten Grenzflächen
genauer untersucht werden.
Jede Grenzfläche Fl, ist ihrerseits begrenzt von (72—2)-fach
ausgedehnten Grenzmannigfaltigkeiten, in denen mindestens
je zwei der Funktionen (p,j, verschwinden. Es können aber darin
auch mehr als zwei dieser Funktionen gleich Null sein.
Alan wird weiter gehen und Grenzmannigfaltigkeiten erhalten,
die der Reihe nach von den Dimensionen 7? —2, 72—3,... sind. Wenn
772 >77 ist, kann man bis zu Grenzpunkten gelangen, in denen
mindestens 72 der Funktionen cp^ verschwinden, es braucht aber
auch in diesen Fällen keine solchen Punkte zu geben, und dann
läßt sich die Vorschrift nicht erfüllen, daß man bei der Wanderung
auf der Grenze von N„ von einem Punkt ausgehen soll, m dem 72
der Funktionen (p,^, verschwinden. Man überzeugt sich leicht, daß
dieser Ausnahmefall nur dann eintreten kann, wenn das Raum-
stück sich ins Unendliche erstreckt. Falls die Funktion
/(^i,...,:r„) eine im Endlichen liegende Stelle des Minimums be-
sitzt, wird man von einem solchen Raumstück durch eine Un-
gleichheit (p,n+i>0 einen im Endlichen liegenden Teil abschneiden
können, der die Stelle des Alinimums enthält, und so die Forderung
für den Ausgangspunkt zu erfüllen versuchen.
Aber auch wenn das Raumstück ganz im Endlichen liegt,
stößt man auf Schwierigkeiten. Betrachtet man zum Beispiel
ein Achtflach, das von acht Dreiecken gebildet wird, die zu je vier
in jeder der sechs Ecken zusammenstoßen, so gibt es sechs Grenz-
punkte, in denen je vier der Funktionen verschwinden, also mehr
als drei, wie es doch beim Ausgangspunkte gefordert wurde. In-
dessen hat die von GAUss vorgeschriebene Wahl des Ausgangs-
punktes für die Durchführung des Verfahrens keine wesentliche
Bedeutung und wurde von ihm wohl nur getroffen, um eine be-
stimmte Annahme zu machen. Es wird sich später ergehen, daß,