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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0012
12 (A.11)
PAUL STACK EL:
liehen" Richtung der Wert der Funktion zunehmen; dabei genügt
es, die Richtungen zu untersuchen, die den durch Af gehenden
Grenzmannigfaltigkeiten angehören.
Beispiele werden hier gute Dienste tun. Die Grenzmannig-
faltigkeit sei eine Ebene, deren Punkte durch rechtwinklige karte-
sische Koordinaten a?, ?/ bestimmt werden. Es sei ferner
(14)
Die Kurven /=const. sind die durch den Ursprung des Koordi-
natensystems G gehenden Geraden, mithin werden die Kurven
schnellster Abnahme die um G beschriebenen Kreise. Wird als
Ausgangspunkt A irgend ein von U verschiedener Punkt der a?-
Achse gewählt, so ist für ihn immer /=1, und wenn man den durch
ihn gehenden Kreis mit abnehmenden a; durchwandert, so nimmt
/(a?, y) ab, bis man in der y-Achse den Wert /=0 erreicht. Von
hier ah findet wieder Zunahme statt. Mithin ist der Punkt anf
der y-Achse ein Punkt Af. Er liefert jedoch kein Minimum, weil
für alle von U verschiedenen Punkte der y-Achse /=0 ist; der Wert
Null ist hier zwar die untere Schranke der Funktionswerte, aber
nicht ein Minimum.
Aber auch wenn der gefundene Punkt 1/ ein Minimum liefert,
ist die Aufgabe keineswegs immer vollständig gelöst. Es sei etwa
/ (z, y) = (;U + — 2 (ar— yQ +1 .
(15)
Als Quadrat des absoluten Betrages der Funktion z^—1 der kom-
plexen Veränderlichen z+zQ hat /(a?,y) für reelle Werte von a: und ;z/
positive Werte, wenn z^-A von Null verschieden ist, und verschwin-
det nur, wenn z^—1=0 ist, also nur an den beiden Stellen %=±1,
y=0. Damit hat man die Stellen des Minimums gefunden. Die
Kurven schnellster Abnahme sind die orthogonalen Trajektorien
der Kurvenschar
—2(a^ —z/) = const.
(16)
Man beweist leicht, daß eine solche Kurve durch den Punkt
a^ = + l, v/ = 0 geht, falls der Anfangspunkt A eine positive Abszisse
besitzt, und durch den Punkt a; = —1, y = 0, falls die Abszisse von A
negativ ist. Hieraus folgt, daß die Wahl des Anfangspunktes nicht
gleichgültig ist, vielmehr bedarf es einer Erörterung des Ver-
PAUL STACK EL:
liehen" Richtung der Wert der Funktion zunehmen; dabei genügt
es, die Richtungen zu untersuchen, die den durch Af gehenden
Grenzmannigfaltigkeiten angehören.
Beispiele werden hier gute Dienste tun. Die Grenzmannig-
faltigkeit sei eine Ebene, deren Punkte durch rechtwinklige karte-
sische Koordinaten a?, ?/ bestimmt werden. Es sei ferner
(14)
Die Kurven /=const. sind die durch den Ursprung des Koordi-
natensystems G gehenden Geraden, mithin werden die Kurven
schnellster Abnahme die um G beschriebenen Kreise. Wird als
Ausgangspunkt A irgend ein von U verschiedener Punkt der a?-
Achse gewählt, so ist für ihn immer /=1, und wenn man den durch
ihn gehenden Kreis mit abnehmenden a; durchwandert, so nimmt
/(a?, y) ab, bis man in der y-Achse den Wert /=0 erreicht. Von
hier ah findet wieder Zunahme statt. Mithin ist der Punkt anf
der y-Achse ein Punkt Af. Er liefert jedoch kein Minimum, weil
für alle von U verschiedenen Punkte der y-Achse /=0 ist; der Wert
Null ist hier zwar die untere Schranke der Funktionswerte, aber
nicht ein Minimum.
Aber auch wenn der gefundene Punkt 1/ ein Minimum liefert,
ist die Aufgabe keineswegs immer vollständig gelöst. Es sei etwa
/ (z, y) = (;U + — 2 (ar— yQ +1 .
(15)
Als Quadrat des absoluten Betrages der Funktion z^—1 der kom-
plexen Veränderlichen z+zQ hat /(a?,y) für reelle Werte von a: und ;z/
positive Werte, wenn z^-A von Null verschieden ist, und verschwin-
det nur, wenn z^—1=0 ist, also nur an den beiden Stellen %=±1,
y=0. Damit hat man die Stellen des Minimums gefunden. Die
Kurven schnellster Abnahme sind die orthogonalen Trajektorien
der Kurvenschar
—2(a^ —z/) = const.
(16)
Man beweist leicht, daß eine solche Kurve durch den Punkt
a^ = + l, v/ = 0 geht, falls der Anfangspunkt A eine positive Abszisse
besitzt, und durch den Punkt a; = —1, y = 0, falls die Abszisse von A
negativ ist. Hieraus folgt, daß die Wahl des Anfangspunktes nicht
gleichgültig ist, vielmehr bedarf es einer Erörterung des Ver-