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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0013
Eine von GAUss gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 13
lautes aller Kurven schnellster Abnahme, wenn man alle Stellen
des Minimums erhalten will.
Wenn man, wie es in der Lehre vom Extremum üblich ist
und im vorhergehenden stillschweigend vorausgesetzt wurde, die
Funktion /(^, ...,^) im Gebiete der Wertesysteme, für die die
Ungleichheiten (1) gelten, als eindeutig annimmt, so wird die
Begrenzung des Raumstückes 5^ von den Mannigfaltigkeiten
/=const. einfach und lückenlos überdeckt, und es geht daher,
von singulären Stellen abgesehen, durch einen Punkt der
Begrenzung auch nur eine Kurve schnellster Abnahme.
Das Auftreten singulärer Stellen wird durch das Beispiel
(15) erläutert: Die Stellen eines Extremums sind immer solche
singulären Stellen, an denen durch einen Punkt der Begrenzung
unzählig viele Kurven schnellster Änderung gehen. Die von
einem solchen Punkt ausstrahlenden Kurven werden ein gewisses
Gebiet der Begrenzung bedecken, und diese wird daher in Teil-
bereiche zerlegt werden können, sodaß, je nachdem man den An-
fangspunkt in dem einen oder dem anderen Bereich wählt, die eine
oder die andere Stelle des Extremums erhalten wird.
Die Stellen des Extremums erscheinen bei dieser
Auffassung als singuläre Stellen der Integrale eines
Systems von 7z—1 gewöhnlichen Differentialgleichungen
erster Ordnung, und zwar als Knotenpunkte, durch die
unendlich viele Integralkurven gehen. Das erste Beispiel (14)
zeigt, daß bei der Integration auch Wirbel punkte auftreten
können; solche Punkte führen zu keinem Extremum. Aber auch
die Möglichkeit kann verwirklicht werden, daß man einen St rudel-
punkt erhält, dem sich die Integralkurve asymptotisch nähert.
Ein solcher Strudelpunkt kann sehr wohl Stelle des Mini-
mums sein, und dann tritt der Fall ein, daß das Verfahren von
GAUss nicht ausreicht, obwohl ein Minimum vorhanden ist.
Leider fehlt es hier an einem Beispiel, das an Einfachheit den
beiden schon gegebenen gleichkommt ; wenn man nämlich in der
Ebene von den bekannten Formen einer Differentialgleichung
erster Ordnung mit einem Strudelpunkt ausgeht, so gelangt man
rückwärts zu Funktionen /(;r, y), für die der Strudelpunkt eine
Stelle der Unbestimmt heit ist, sodaß kein Minimum heraus-
kommen kann. Verwickeltere Überlegungen haben zwar zum
Ziel geführt, sollen jedoch hier nicht mitgeteilt werden.
lautes aller Kurven schnellster Abnahme, wenn man alle Stellen
des Minimums erhalten will.
Wenn man, wie es in der Lehre vom Extremum üblich ist
und im vorhergehenden stillschweigend vorausgesetzt wurde, die
Funktion /(^, ...,^) im Gebiete der Wertesysteme, für die die
Ungleichheiten (1) gelten, als eindeutig annimmt, so wird die
Begrenzung des Raumstückes 5^ von den Mannigfaltigkeiten
/=const. einfach und lückenlos überdeckt, und es geht daher,
von singulären Stellen abgesehen, durch einen Punkt der
Begrenzung auch nur eine Kurve schnellster Abnahme.
Das Auftreten singulärer Stellen wird durch das Beispiel
(15) erläutert: Die Stellen eines Extremums sind immer solche
singulären Stellen, an denen durch einen Punkt der Begrenzung
unzählig viele Kurven schnellster Änderung gehen. Die von
einem solchen Punkt ausstrahlenden Kurven werden ein gewisses
Gebiet der Begrenzung bedecken, und diese wird daher in Teil-
bereiche zerlegt werden können, sodaß, je nachdem man den An-
fangspunkt in dem einen oder dem anderen Bereich wählt, die eine
oder die andere Stelle des Extremums erhalten wird.
Die Stellen des Extremums erscheinen bei dieser
Auffassung als singuläre Stellen der Integrale eines
Systems von 7z—1 gewöhnlichen Differentialgleichungen
erster Ordnung, und zwar als Knotenpunkte, durch die
unendlich viele Integralkurven gehen. Das erste Beispiel (14)
zeigt, daß bei der Integration auch Wirbel punkte auftreten
können; solche Punkte führen zu keinem Extremum. Aber auch
die Möglichkeit kann verwirklicht werden, daß man einen St rudel-
punkt erhält, dem sich die Integralkurve asymptotisch nähert.
Ein solcher Strudelpunkt kann sehr wohl Stelle des Mini-
mums sein, und dann tritt der Fall ein, daß das Verfahren von
GAUss nicht ausreicht, obwohl ein Minimum vorhanden ist.
Leider fehlt es hier an einem Beispiel, das an Einfachheit den
beiden schon gegebenen gleichkommt ; wenn man nämlich in der
Ebene von den bekannten Formen einer Differentialgleichung
erster Ordnung mit einem Strudelpunkt ausgeht, so gelangt man
rückwärts zu Funktionen /(;r, y), für die der Strudelpunkt eine
Stelle der Unbestimmt heit ist, sodaß kein Minimum heraus-
kommen kann. Verwickeltere Überlegungen haben zwar zum
Ziel geführt, sollen jedoch hier nicht mitgeteilt werden.