Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A. 11)

PAUL STÄCKEL:

§5
Das Beispiel von (Wuss: a) Die linearen Ungleichheiten
In der Vorlesung vom Wintersemester 1850/51 hat GAUSS
folgendes Beispiel betrachtet. Es sei
(17) /Gl,;r„) = Ei + ^g+--- + ^ ,
und die Ungleichheitsbedingungen mögen durch lineare Funk-
tionen gegeben werden:
(18) Cp ^ Ul7 * *' i ^0 p. ^l[i U " * ' * ö" *
ln Übertragung der für ??=3 geltenden Ausdrucksweise soll also
der Punkt kleinsten Abstandes von einem der Gebiete bestimmt
werden, das durch die Ebenen cp =0 begrenzt wird, nämlich in
denjenigen, wo überall (p,j,>0 wird.
Wenn der Ursprung G innerhalb des Gebietes oder auf dessen
Begrenzung liegt, so ist er selbst die Stelle des Minimums. Mithin
darf von vornherein vorausgesetzt werden, daß G außerhalb liegt.
Wie man sofort ersieht und durch die in § 3 angegebenen
Formeln bestätigt, sind die Kurven schnellster Abnahme gerade
Linien. Zur Durchführung des Verfahrens von GAUss hat man
daher nur noch die Beschaffenheit des Gebietes zu ermitteln, das
durch die Ungleichheiten cp^ P 0 erklärt wird, und zu untersuchen,
ob man dabei wirklich die Stellen des Minimums erhält.
Es kann sehr wohl Vorkommen, daß es überhaupt keinen
Punkt gibt, der den vorgelegten Ungleichheiten genügt, oder daß
nur ein einziger solcher Punkt vorhanden ist. Wenn man aber
zwei solche Punkte P' (u,. - -, ^) und P" (^/',..., ^) kennt, so
lassen sich daraus unzählig viele andere herleiten, die gleichfalls
die Ungleichheiten befriedigen. Setzt man nämlich
(19) ^=G'l—0a4 + ^U,'
und läßt die Veränderliche ? von 0 bis 1 wachsen, so ist, wenn die
Werte von cp,^ in den Punkten P' und P" mit cpj/ und cp^[ bezeichnet
werden:
(30) w = Ü-9^+fcp^,
und wenn f zwischen 0 und 1 liegt, ist dieser Ausdruck PO. Man
kann diese Tatsache so ausdrücken, daß mit den Punkten P'