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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0019
Eine von GAUss gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 19
führt; in der üblichen Darstellung erscheint diese als ein analyti-
scher Kunstgriff, der erst nachträglich durch den Erfolg gerecht-
fertigt wird. Die Kurven schnellster Änderung verdienen
es daher, in die Lehre vom Extremum eingeführt zu
werden.
Die vorhergehenden Überlegungen geben aber auch die
Grundlage für ein neues Verfahren zur Behandlung der
Extrema mit Ungleichheitsbedingungen, bei dem es aus-
reicht, die Prozesse der Elimination und Differentiation
anzuwenden, die man bei der Lösung der gewöhnlichen Aufgaben
des Extremums zuzulassen pflegt.
Um darzulegen, wie die Durchführung sich im einzelnen
gestaltet, genügt es, die Stellen des Minimums für ein Raumstück
N„ im Sinne des § 2 zu ermitteln. Zu diesem Zwecke denke man sich
die Reihe der Mannigfaltigkeiten aufgestellt, die durch irgend
welche Systeme von Gleichungen (p^=0 erklärt werden; ihre Di-
mensionen gehen von n—1 bis 0. Bei einem Vielfach Ng wird zum
Beispiel eine Anzahl unbegrenzter Ebenen und Geraden auftreten,
und ihnen werden sich gewisse Punkte zugesellen. Nunmehr löse
man das gewöhnliche Problem des Minimums für die Funktion
...,ar,J mit den Nebenbedingungen, daß gewisse der Funk-
tionen cp^ verschwinden sollen; man beginnt dabei mit den Grenz-
flächen, bei denen eine der Funktionen (p,^ gleich Null ist, nimmt
dann den Fall, daß irgend zwei dieser Funktionen verschwinden,
usw. Schließlich gelangt man zu den Grenzpunkten, bei denen
nur der Wert zu ermitteln ist, den die Funktion /(a^, ...,a^„) an-
nimmt.
Für jede der so gewonnenen Stellen des Minimums bilde man
die Reihe aller Funktionen (p^. Wenn auch nur eine davon negativ
ausfällt, ist der betreffende Punkt auszuscheiden. Es bleiben die
Punkte übrig, die auf der Begrenzung von N„ liegen, wenn es
nämlich deren überhaupt gibt.
Liegt einer der so erhaltenen Punkte im Innern einer (/?-!)-
fach ausgedehnten Grenzfläche, so liefert er ein Minimum. Liegt
er dagegen auf ihrer Begrenzung, so kommt er nur in Betracht,
wenn er gleichzeitig für die anstoßenden Grenzflächen ein Mini-
mum ist.
Hat man ferner eine Stelle des Minimums für eine Grenz-
mannigfaltigkeit von weniger als n—1 Dimensionen, so ist zunächst
führt; in der üblichen Darstellung erscheint diese als ein analyti-
scher Kunstgriff, der erst nachträglich durch den Erfolg gerecht-
fertigt wird. Die Kurven schnellster Änderung verdienen
es daher, in die Lehre vom Extremum eingeführt zu
werden.
Die vorhergehenden Überlegungen geben aber auch die
Grundlage für ein neues Verfahren zur Behandlung der
Extrema mit Ungleichheitsbedingungen, bei dem es aus-
reicht, die Prozesse der Elimination und Differentiation
anzuwenden, die man bei der Lösung der gewöhnlichen Aufgaben
des Extremums zuzulassen pflegt.
Um darzulegen, wie die Durchführung sich im einzelnen
gestaltet, genügt es, die Stellen des Minimums für ein Raumstück
N„ im Sinne des § 2 zu ermitteln. Zu diesem Zwecke denke man sich
die Reihe der Mannigfaltigkeiten aufgestellt, die durch irgend
welche Systeme von Gleichungen (p^=0 erklärt werden; ihre Di-
mensionen gehen von n—1 bis 0. Bei einem Vielfach Ng wird zum
Beispiel eine Anzahl unbegrenzter Ebenen und Geraden auftreten,
und ihnen werden sich gewisse Punkte zugesellen. Nunmehr löse
man das gewöhnliche Problem des Minimums für die Funktion
...,ar,J mit den Nebenbedingungen, daß gewisse der Funk-
tionen cp^ verschwinden sollen; man beginnt dabei mit den Grenz-
flächen, bei denen eine der Funktionen (p,^ gleich Null ist, nimmt
dann den Fall, daß irgend zwei dieser Funktionen verschwinden,
usw. Schließlich gelangt man zu den Grenzpunkten, bei denen
nur der Wert zu ermitteln ist, den die Funktion /(a^, ...,a^„) an-
nimmt.
Für jede der so gewonnenen Stellen des Minimums bilde man
die Reihe aller Funktionen (p^. Wenn auch nur eine davon negativ
ausfällt, ist der betreffende Punkt auszuscheiden. Es bleiben die
Punkte übrig, die auf der Begrenzung von N„ liegen, wenn es
nämlich deren überhaupt gibt.
Liegt einer der so erhaltenen Punkte im Innern einer (/?-!)-
fach ausgedehnten Grenzfläche, so liefert er ein Minimum. Liegt
er dagegen auf ihrer Begrenzung, so kommt er nur in Betracht,
wenn er gleichzeitig für die anstoßenden Grenzflächen ein Mini-
mum ist.
Hat man ferner eine Stelle des Minimums für eine Grenz-
mannigfaltigkeit von weniger als n—1 Dimensionen, so ist zunächst