Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung. (A. 17) 13

(15.)

ztD,

so ist K„>0 für r = o, und wir behaupten, daß auch für r>r^
dauernd M,,>0 bleibt. In der Tat, durch die Substitution (15.)
geht unsere Differenzengleichung nach leichter Rechnung über in:

(16.)

!'+l

(l + r„) K„ + _
1 r^,.

nus n;„>0 folgt also ?c„+i>0. Nun behaupten wir, daß lim K„ = 0
ist. Zum Beweis geben wir der Gleichung (16.) die Form

(17.)

1 — 1 A 7',,

1 + r„ — y,,
1+^7

woraus zunächst mit Rücksicht auf (14.) folgt, daß nicht be-
liebig groß werden kann. Wäre nun

hm sup x„ = n>0 ,

so wäre, unter g eine beliebig kleine positive Zahl verstanden, für
genügend große r

also nach (17.)

u + g ,

h+i < i

1 + r,, —.s\,
1 A Ct A g

Daher auch, wenn man in geeigneter Weise zur Grenze r—>-oo
übergeht,
1 ct A g
n < 1--=- .
1+a+g 1+a+g

Da dies gelten muß, wie klein auch g sei, so schließt man: