Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Intensitäten in der Versicherungsmathematik.

(A. 6) 31


d M

ist, also den Barwert der künftigen Leistungen der Versicherungs-
gesellschaft an einen vor ^ Jahren Versicherten, der gegenwärtig
y-W Jahre alt ist, darstellt. Da

V " . c


nach (3L) gleich

also gleich dem Barwert der von einem (y+^)-jährigen Versicher-
ten zu erwartenden Prämien ist, hat man in Gleichung (3W) das
bekannte Resultat, daß das Deckungskapital vermehrt um
den Barwert der künftig zu erwartenden Prämien gleich dem Wert
der künftigen Leistungen der Versicherungsgesellschaft ist.
Ehe wir die obigen Betrachtungen im nächsten Paragraphen
weiter verfolgen, leiten wir für den Fall, daß die n Auszahlun-
gen sämtlich dauernd gleich der
Einheit sind, den folgenden Satz ah:
Ein konstanter Aufschlag zr zu allen Prämien
gewährt vollkommenen Schutz gegen eine Er-
höhung der rechnungsmäßigen totalen Ausscheide-
wahrscheinlichkeiten um die Beträge (l-^)(l-e""^
(oder allgemeiner: der totalen A u s s c h e i d e w a h r -
scheinlichkeiten um die Beträge (1—e""'))
und gleichzeitig auch vollkommenen Schutz gegen
eine Verminderung des rechnungsmäßigen Zinsfußes i
um den Betrag (l-tA)-(l —e"^).
Der ausgesprochene Satz besagt, daß zwei Betriebe, von denen
der eine mit , c und als Prämie, Zins und totaler Aus-
scheidewahrscheinlichkeit arbeitet, der andere hingegen hierfür die

Größen c'=G-(l+?!)-(l-e "), = +

verwendet, zu jeder Zeit die gleichen Deckungskapitalien besitzen.
Zum Beweis betrachten wir die Differentialgleichung (25);
diese geht bei unseren Annahmen -
wenn man außerdem noch die Relation (8) beachtet, über in: