Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 111. (A. 14) 15
war*. Das Verfahren, das in § 18 zum Beweise des Lehrsatzes i
führte, gibt zugleich die Mittel, die betrachteten Lückenzahlen
zu finden. Weil nämlich die Anfangszahlen, die im Hauptab-
schnitt liegen, durch ihre charakteristischen Restsysteme eindeutig
bestimmt sind, so gibt es genau soviel Lückenzahlfolgen der ver-
langten Art als Restsysteme l,pi—Folglich ist /?,.(2<7„)
gleich dem Produkt der Anzahlen der Nichtreste der Teil-
summen 2o^ gegen die Primzahlen 3, 5,..., p,,'also
(179)
e=i
Damit ist die Formel (91') in einfachster Weise hergeleitet; zu-
gleich hat sich ergeben, daß Ai(2u^) = 3 —F(3) ist, eine Gleichung,
die man leicht unmittelbar bestätigt. Es sei noch bemerkt, daß
eine Primzahl von Maximalcharakter zum Produkt den Faktor
Eins beiträgt.
Die Formel (179) gilt für beliebige Differenzenfolgen. Ist eine
solche Folge unbeständig, so wird bei wachsender Stufenzahl ein-
mal F(p,) = p, und /?,(2uJ verschwindet. Ist die Folge beständig,
so sind alle Faktoren von Null verschieden. In diesem Falle be-
steht die Gleichung (90), und man hat
(180)
pü^+i)
Weil für die Anzahl F(p^) —A:+l wird, haben die Funktionen
tS*,(2u„) für r>a sämtlich denselben Wert, nämlich
(181)
.y(2.,) = n(p'-v(p')).n
t'AG)
p"— p — 1
das Zeichen p' bedeutet die Primzahlen erster Art 3,5,...,p^,
das Zeichen p" die Primzahlen zweiter Art PR+i,PR+2!---^Pa-
Die Schwankungsfunktion 6*(2u^) läßt sich daher aus den
Multiplikatoren erster und zweiter Art zusammensetzen:
* In den Formeln (91) und (92) (Teil II, 8.17) ist in den Produkten der
Anfangswert von p gleich 2 (statt 1) zu setzen. Ferner ist ^ + 1 — F(p^);
hiernach ist die S. 16 gegebene Erklärung des Zeichens zu verbessern.
war*. Das Verfahren, das in § 18 zum Beweise des Lehrsatzes i
führte, gibt zugleich die Mittel, die betrachteten Lückenzahlen
zu finden. Weil nämlich die Anfangszahlen, die im Hauptab-
schnitt liegen, durch ihre charakteristischen Restsysteme eindeutig
bestimmt sind, so gibt es genau soviel Lückenzahlfolgen der ver-
langten Art als Restsysteme l,pi—Folglich ist /?,.(2<7„)
gleich dem Produkt der Anzahlen der Nichtreste der Teil-
summen 2o^ gegen die Primzahlen 3, 5,..., p,,'also
(179)
e=i
Damit ist die Formel (91') in einfachster Weise hergeleitet; zu-
gleich hat sich ergeben, daß Ai(2u^) = 3 —F(3) ist, eine Gleichung,
die man leicht unmittelbar bestätigt. Es sei noch bemerkt, daß
eine Primzahl von Maximalcharakter zum Produkt den Faktor
Eins beiträgt.
Die Formel (179) gilt für beliebige Differenzenfolgen. Ist eine
solche Folge unbeständig, so wird bei wachsender Stufenzahl ein-
mal F(p,) = p, und /?,(2uJ verschwindet. Ist die Folge beständig,
so sind alle Faktoren von Null verschieden. In diesem Falle be-
steht die Gleichung (90), und man hat
(180)
pü^+i)
Weil für die Anzahl F(p^) —A:+l wird, haben die Funktionen
tS*,(2u„) für r>a sämtlich denselben Wert, nämlich
(181)
.y(2.,) = n(p'-v(p')).n
t'AG)
p"— p — 1
das Zeichen p' bedeutet die Primzahlen erster Art 3,5,...,p^,
das Zeichen p" die Primzahlen zweiter Art PR+i,PR+2!---^Pa-
Die Schwankungsfunktion 6*(2u^) läßt sich daher aus den
Multiplikatoren erster und zweiter Art zusammensetzen:
* In den Formeln (91) und (92) (Teil II, 8.17) ist in den Produkten der
Anfangswert von p gleich 2 (statt 1) zu setzen. Ferner ist ^ + 1 — F(p^);
hiernach ist die S. 16 gegebene Erklärung des Zeichens zu verbessern.