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https://doi.org/10.11588/diglit.36434#0028
28 (A. 15)
OSKAR PERROA:
F(xJ) = /" + p,
^/D,Q —
0
im ganzen Intervall a ^ ät < /z dauernd voneinander verschieden
sind. Dann sind sie, wenn sie nur für jeden Wert von 3? passend
nummeriert werden, stetige Funktionen von 2 und unendlich oft
3F
wenn
differenzierbar 1). Ebenso ist die partielle Ableitung
für / eine der Funktionen /,-(D) eingesetzt wird, eine stetige Funk-
3/
b Es scheint, daß dieser Satz trotz seiner Einfachheit nirgends voll-
ständig bewiesen ist; ein Beweis sei daher kurz skizziert. Die Koeffizienten
sind stetig, also beschränkt; daher sind auch die Wurzeln und
folglich die Differenzen h—beschränkt. Die Diskriminante
läßt sich rational und ganz aus den zusammensetzen, ist also stetig;
da sie außerdem überall DO ist, bleibt ihr absoluter Wert oberhalb einer
positiven Schranke. Da von den Faktoren in (A.) jeder unterhalb, und
das ganze Produkt oberhalb einer positiven Schranke bleibt, kann keiner
der Faktoren beliebig klein werden. Also ist
/FD —/DD A>c,
wo c eine positive Zahl ist.
Bedeutet nun e eine positive Zahl, kleiner als c/2, so beweist man auf
eine der bekannten Arten, daß sich jeder Zahl 3 eine positive Zahl dg ^ zu-
ordnen läßt derart, daß die Wurzeln der Gleichung F(^,/) = 0 sich von
denen der Gleichung P(3,/) = 0 um weniger als e unterscheiden, wenn nur
^ —FcA/x ist. Bei passender Nummerierung der Wurzeln ist also
/FD —/FD! < e (Z = 1,2,..., n.),
und zwar ist diese Nummerierung, wenn sie für den Wert 3 irgendwie gewählt
ist, für den Wert ^ nur auf ezbe Art möglich; denn andernfalls wäre etwa
/FD —/FD <e, /DD —/FD!<e,
also /FD —/DD I < 2e < c,
entgegen dem vorhin Festgestellten.
Der Existenzbeweis für die Zahl dg ^ kann so geführt werden, daß man
ein von 3 unabhängiges dg ^ erhält; man kann aber auch nachträglich mit
Hilfe des HEiNE-BoREL-Theorems das gleiche Ziel erreichen. Daher läßt sich
in das Intervall (a,&) eine endliche Anzahl von Zwischenwerten einschalten
u - 3 Q 3 ^ 32 3?%—^ 3,% 5
derart, daß bei passender Nummerierung der Wurzeln
/FD)-/FD') <2e (Z=l,2,...,n)
ist, sobald F und F' ein und demselben Teilintervall (3„,3y+i) angehören.
OSKAR PERROA:
F(xJ) = /" + p,
^/D,Q —
0
im ganzen Intervall a ^ ät < /z dauernd voneinander verschieden
sind. Dann sind sie, wenn sie nur für jeden Wert von 3? passend
nummeriert werden, stetige Funktionen von 2 und unendlich oft
3F
wenn
differenzierbar 1). Ebenso ist die partielle Ableitung
für / eine der Funktionen /,-(D) eingesetzt wird, eine stetige Funk-
3/
b Es scheint, daß dieser Satz trotz seiner Einfachheit nirgends voll-
ständig bewiesen ist; ein Beweis sei daher kurz skizziert. Die Koeffizienten
sind stetig, also beschränkt; daher sind auch die Wurzeln und
folglich die Differenzen h—beschränkt. Die Diskriminante
läßt sich rational und ganz aus den zusammensetzen, ist also stetig;
da sie außerdem überall DO ist, bleibt ihr absoluter Wert oberhalb einer
positiven Schranke. Da von den Faktoren in (A.) jeder unterhalb, und
das ganze Produkt oberhalb einer positiven Schranke bleibt, kann keiner
der Faktoren beliebig klein werden. Also ist
/FD —/DD A>c,
wo c eine positive Zahl ist.
Bedeutet nun e eine positive Zahl, kleiner als c/2, so beweist man auf
eine der bekannten Arten, daß sich jeder Zahl 3 eine positive Zahl dg ^ zu-
ordnen läßt derart, daß die Wurzeln der Gleichung F(^,/) = 0 sich von
denen der Gleichung P(3,/) = 0 um weniger als e unterscheiden, wenn nur
^ —FcA/x ist. Bei passender Nummerierung der Wurzeln ist also
/FD —/FD! < e (Z = 1,2,..., n.),
und zwar ist diese Nummerierung, wenn sie für den Wert 3 irgendwie gewählt
ist, für den Wert ^ nur auf ezbe Art möglich; denn andernfalls wäre etwa
/FD —/FD <e, /DD —/FD!<e,
also /FD —/DD I < 2e < c,
entgegen dem vorhin Festgestellten.
Der Existenzbeweis für die Zahl dg ^ kann so geführt werden, daß man
ein von 3 unabhängiges dg ^ erhält; man kann aber auch nachträglich mit
Hilfe des HEiNE-BoREL-Theorems das gleiche Ziel erreichen. Daher läßt sich
in das Intervall (a,&) eine endliche Anzahl von Zwischenwerten einschalten
u - 3 Q 3 ^ 32 3?%—^ 3,% 5
derart, daß bei passender Nummerierung der Wurzeln
/FD)-/FD') <2e (Z=l,2,...,n)
ist, sobald F und F' ein und demselben Teilintervall (3„,3y+i) angehören.