§9
Die Doppeldarstellungen gerader Zahlen als Summen
mittels Lücken- nnd Primzahlpaaren gegebener Differenz
Aus zwei Paaren von Lückenzahlen r-ter Stufe, die dieselbe
Zahl 2d zur Differenz haben, f, + 2d und w,, w, + 2<5, ent-
springt die Doppeldarstellung r-ter Stufe
(71) 2n. = f,. + (w,+2<5) (^+2d) + w^ .
Die in § 6 untersuchten Zwillingsdarsteilungen r-ter Stufe sind
darin als besonderer Fall enthalten. In diesem Paragraphen soll
die Anzahl solcher Doppeldarstellungen 6^(27?,) ermittelt werden.
Zunächst ist festzustellen, wann eine gerade Zahl 2% die ge-
geforderte Darstellung gestattet. Dabei sind zwei wesentlich ver-
schiedene Fälle zu unterscheiden.
Ist erstens 2(5 durch 3 teilbar, also etwa gleich 6(5', so ver-
teilen sich nach § 4 die zulässigen Lückenzahlen gleichmäßig
auf die beiden Klassen 6r + l und 6r + 5, und die Summen, die
aus zwei Paaren von Lückenzahlen hervorgehen, können alle drei
Formen 6%i, 677^ + 2, 677-1+4 haben. Die darzustellende gerade
Zahl unterliegt keiner Beschränkung in bezug auf die Teilbarkeit
durch drei.
Ist zweitens 2(5 nicht durch 3 teilbar, so gehören nach § 4
die zulässigen Lückenzahlen ^ zu einer der beiden Klassen 6r + l
und 6r + 5, und die Lückenzahlen ^ + 2(5 sind Mitglieder der ande-
ren Klasse. Mithin erhält man, wie schon in § 6 für 2<5 = 2 aus-
geführt wurde, nur die durch 6 teilbaren Zahlen 6?^.
Für die weitere Untersuchung setzen wir, wie schon in § 2,
2n. = 2P,3: + 2M,, wo 2%, dem Hauptbereich angehöre. Falls 2(5 nicht
durch 3 teilbar ist, muß 2 77 = 67^, also auch 2u, = 6^, sein; jedoch
soll zunächst, um die Allgemeinheit zu wahreu, auf den Unterschied
1*
Die Doppeldarstellungen gerader Zahlen als Summen
mittels Lücken- nnd Primzahlpaaren gegebener Differenz
Aus zwei Paaren von Lückenzahlen r-ter Stufe, die dieselbe
Zahl 2d zur Differenz haben, f, + 2d und w,, w, + 2<5, ent-
springt die Doppeldarstellung r-ter Stufe
(71) 2n. = f,. + (w,+2<5) (^+2d) + w^ .
Die in § 6 untersuchten Zwillingsdarsteilungen r-ter Stufe sind
darin als besonderer Fall enthalten. In diesem Paragraphen soll
die Anzahl solcher Doppeldarstellungen 6^(27?,) ermittelt werden.
Zunächst ist festzustellen, wann eine gerade Zahl 2% die ge-
geforderte Darstellung gestattet. Dabei sind zwei wesentlich ver-
schiedene Fälle zu unterscheiden.
Ist erstens 2(5 durch 3 teilbar, also etwa gleich 6(5', so ver-
teilen sich nach § 4 die zulässigen Lückenzahlen gleichmäßig
auf die beiden Klassen 6r + l und 6r + 5, und die Summen, die
aus zwei Paaren von Lückenzahlen hervorgehen, können alle drei
Formen 6%i, 677^ + 2, 677-1+4 haben. Die darzustellende gerade
Zahl unterliegt keiner Beschränkung in bezug auf die Teilbarkeit
durch drei.
Ist zweitens 2(5 nicht durch 3 teilbar, so gehören nach § 4
die zulässigen Lückenzahlen ^ zu einer der beiden Klassen 6r + l
und 6r + 5, und die Lückenzahlen ^ + 2(5 sind Mitglieder der ande-
ren Klasse. Mithin erhält man, wie schon in § 6 für 2<5 = 2 aus-
geführt wurde, nur die durch 6 teilbaren Zahlen 6?^.
Für die weitere Untersuchung setzen wir, wie schon in § 2,
2n. = 2P,3: + 2M,, wo 2%, dem Hauptbereich angehöre. Falls 2(5 nicht
durch 3 teilbar ist, muß 2 77 = 67^, also auch 2u, = 6^, sein; jedoch
soll zunächst, um die Allgemeinheit zu wahreu, auf den Unterschied
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