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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0041
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 41
symmetrische Folge 2,4,2 getan. Seine Ergebnisse sollen in dem
folgenden Paragraphen durch ein Verfahren hergeleitet werden,
das dem in § 9 für die Doppeldarstellungen benutzten entspricht;
WEiNREicH selbst hatte einen abweichenden Weg eingeschlagen,
der aber auch zum Ziele führte.
§ 17
Die Vierlingsdarstellimgen der durch 30 teilbaren Zahlen
im Gebiet der Lückenzahlen und der Primzahlen
Wie in § 12 bewiesen wurde, ist im Gebiet der Primzahlen
die Wachstumsfunktion für die Anzahl der Zwillingsdarstellungen
der durch 6 teilbaren Zahlen asymptotisch gleich der Anzahl der
viergliedrigen Primzahlfolgen mit den Differenzen 2,4,2. Diese
Folgen ließen sich ihrerseits erklären als die Paare von Primzahl-
zwillingen, die möglichst eng zusammenstehen; sie sind als Prim-
zahlvierlinge bezeichnet worden. Aus der beständigen, symmetri-
schen Differenzenfolge 2,4,2 entspringen im Gebiet der Lücken-
zahlen und der Primzahlen vierfache Darstellungen gewisser ge-
rader Zahlen, die jetzt genauer untersucht werden sollen.
Die Zahlen eines Lückenzahlvierlings r-ter Stufe
gruppieren sich symmetrisch um die Mitte des Vierlings, die un-
gerade Zahl m,, und erscheinen in der Form 777^-4, 777^-2, 777^+2,777^+4.
Nimmt man die Zahl 77?, hinzu, so hat man 5 aufeinanderfolgende
ungerade Zahlen; demnach muß, von der zweiten Stufe ab, 777,
durch 15 teilbar sein und hat als ungerade Zahl die Form 3077-2+15.
Hieraus ergibt sich von neuem, daß die Anfangszahl eines Vierlings
die Form 3077g+ 11 hat. Die Endzahl hat also die Form 3077g+19,
und bei der Summation entstehen Zahlen der Form
(155) (30 77g +11) + (30 77^ +19) = 30 7?.g -
Mithin gestatten im Gebiet der Lückenzahlen nur die durch 30
teilbaren Zahlen Vierlingsdarstellungen. Im Gebiet der
Primzahlen gilt dasselbe, wenn man, wie das schon bei den Zwil-
lingsdarstellungen geschehen ist, von Nebendarstellungen absieht;
hier scheiden die Darstellungen aus, bei denen der Nebenvierling
5,7,11,13 benutzt wird.
symmetrische Folge 2,4,2 getan. Seine Ergebnisse sollen in dem
folgenden Paragraphen durch ein Verfahren hergeleitet werden,
das dem in § 9 für die Doppeldarstellungen benutzten entspricht;
WEiNREicH selbst hatte einen abweichenden Weg eingeschlagen,
der aber auch zum Ziele führte.
§ 17
Die Vierlingsdarstellimgen der durch 30 teilbaren Zahlen
im Gebiet der Lückenzahlen und der Primzahlen
Wie in § 12 bewiesen wurde, ist im Gebiet der Primzahlen
die Wachstumsfunktion für die Anzahl der Zwillingsdarstellungen
der durch 6 teilbaren Zahlen asymptotisch gleich der Anzahl der
viergliedrigen Primzahlfolgen mit den Differenzen 2,4,2. Diese
Folgen ließen sich ihrerseits erklären als die Paare von Primzahl-
zwillingen, die möglichst eng zusammenstehen; sie sind als Prim-
zahlvierlinge bezeichnet worden. Aus der beständigen, symmetri-
schen Differenzenfolge 2,4,2 entspringen im Gebiet der Lücken-
zahlen und der Primzahlen vierfache Darstellungen gewisser ge-
rader Zahlen, die jetzt genauer untersucht werden sollen.
Die Zahlen eines Lückenzahlvierlings r-ter Stufe
gruppieren sich symmetrisch um die Mitte des Vierlings, die un-
gerade Zahl m,, und erscheinen in der Form 777^-4, 777^-2, 777^+2,777^+4.
Nimmt man die Zahl 77?, hinzu, so hat man 5 aufeinanderfolgende
ungerade Zahlen; demnach muß, von der zweiten Stufe ab, 777,
durch 15 teilbar sein und hat als ungerade Zahl die Form 3077-2+15.
Hieraus ergibt sich von neuem, daß die Anfangszahl eines Vierlings
die Form 3077g+ 11 hat. Die Endzahl hat also die Form 3077g+19,
und bei der Summation entstehen Zahlen der Form
(155) (30 77g +11) + (30 77^ +19) = 30 7?.g -
Mithin gestatten im Gebiet der Lückenzahlen nur die durch 30
teilbaren Zahlen Vierlingsdarstellungen. Im Gebiet der
Primzahlen gilt dasselbe, wenn man, wie das schon bei den Zwil-
lingsdarstellungen geschehen ist, von Nebendarstellungen absieht;
hier scheiden die Darstellungen aus, bei denen der Nebenvierling
5,7,11,13 benutzt wird.