Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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PAUL SlÄCKEL:

angehören; dasselbe gilt auch von Primzahlfolgen mit gegebenen
Differenzen. Mithin haben die geraden Zahlen, die eine (^ + 1)-
fache Darstellung der verlangten Art gestatten, die Formen
2P, 3 + ^ + 7^'+2c„; für zy und zG sind alle Paare zulässiger Werte
zu setzen. Es kann sich ereignen, daß die Gesamtheit der so er-
klärten geraden Zahlen alle geraden Zahlen umfaßt; es können
aber auch nur gewisse arithmetische Reihen der Form 2P^ + 2n^
herauskommen, denen die darzustellenden Zahlen angehören
müssen.
Im Gebiet der Primzahlen sei C^"""24J(27?.) die Anzahl der
(^.+l)-fachen Darstellungen der Zahl 2% mittels Primzahlfolgen
mit den symmetrischen Differenzen 2^^, . ..,2<V- Der Ansatz wird,
entsprechend den früheren besonderen Fällen, lauten

(151) - lF^--"-W<>(2^) - A^'-"-2W(2^) ;

die Schwankungsfunktion ist gleich Null zu setzen, wenn 2n nicht,
einer der arithmetischen Reihen angehört, denen die darzustellende
Zahl zu entnehmen ist, sonst ist sie gleich der vorher erklärten
Funktion N. Die Wachstumsfunktion für die Primzahlen entsteht
aus der Wachstumsfunktion für die Lückenzahlen r-ter Stufe durch
Multiplikation mit und Grenzübergang. Mit Hilfe der Glei-
chung (97) ergibt sich

(152)

kF^'<<"3N)(27z) = G(2ü„...,2^).^

(yr(2^))^+'
(2u)^+*

Die Wachstumsfunktion läßt sich daher wiederum mit gewissen
Anzahlen von (2/z + 2)-gliedrigen Primzahlfolgen in Verbindung
bringen. Es ist nach Gleichung (98)

(153) R^'""'W'+i)(27z) ^
mithin

(zr(2/z))^^
(2 n)^^

N (2 ,..., 2 g2^+i) ?

(154) W


G'DzP'i.;

der zweite Faktor ist als eine numerische Konstante aufzufassen.
Es schien erwünscht, bei einer höheren (^-Funktion die Unter-
suchung vollständig durchzuführen. WEiNREicH hat das für die