14 (A.2)
PAUL STACHEL:
tritt. Wenn aber p alle Zahlen der Reihe 0,1,2,..., p^—1 durch-
läuft, so durchläuft nach einem bekannten Satze 2P^p, weil 2P,
zu p,+i teilerfremd ist, eine Reihe von Zahlen, deren Reste gegen
p,^_i zusammengenommen wieder die Zahlen 0,1, 2,...,p,+i—1 aus-
machen. Dasselbe gilt dann von 2P, p + ^,, und hieraus folgt, daß
auch die Reste der /z + 1 Zahlen
0, 2^, 2^, ..., 2c„
ein volles Restsystem 0,'l,2,...,p,_^—1 ausmachen müssen. Damit
es auf der (r+l)-ten Stufe Lücken zahlfolgen mit den
Differenzen 2d^, 2^2,-..,2d„ gibt, wenn deren auf der
r-ten Stufe vorhanden sind, ist mithin notwendig
und hinreichend, daß die genannten ^n+1 Zahlen kein
volles Restsystem gegen p,_^ ergeben.
Die soeben abgeleitete Bedingung ist erfüllt, wenn /z + 1 kleiner
als p^ ausfällt. Demnach sind alle auf der r-ten Stufe
vorhandenen Differenzenfolgen, die aus weniger als
Pr+i — 1 Differenzen bestehen, beständige Folgen. Im
besonderen sind alle zwei- und dreigliedrigen Folgen erster Stufe
beständig; es kommen hinzu alle vier- und fünfgliedrigen Folgen
der zweiten Stufe, alle sechs- bis neungliedrigen Folgen der dritten
Stufe usw. Folglich gilt der Lehrsatz:
Damit eine /z-gliedrige Folge 2Ü^, 2^,...,2^„ &c-
ist, muß sie erstens auf der ersten Stufe
Vorkommen, also das Kennzeichen erster Stufe er-
füllen, und zweitens müssen die Reste der /z+1 Zah-
len 0, 2(?i, 2(72, ...,2<7„ gegen die Primzahlen 5, 7, ...,p,
niemals ein volles Restsystem bilden, wenn p, so
gewählt wird, daß p^ —1 noch kleiner, p,^ —1 aber
schon, größer als p. ausfällt. Diese Bedingung ist
hinreichend, aber auch notwendig.
Als Beispiele beständiger Folgen hat man zunächst die zwei-
und dreigliedrigen Grundfolgen erster Stufe (siehe Tafel 10). Von
den dort aufgezählten viergliedrigen Grundformen gingen auf der
zweiten Stufe verloren die folgenden vier:
(2, 4, 2, 6), (2, 4, 6, 6), (4, 2, 6, 6), (6, 6, 6, 6).
Die übrigen 13 Folgen sind beständig.
PAUL STACHEL:
tritt. Wenn aber p alle Zahlen der Reihe 0,1,2,..., p^—1 durch-
läuft, so durchläuft nach einem bekannten Satze 2P^p, weil 2P,
zu p,+i teilerfremd ist, eine Reihe von Zahlen, deren Reste gegen
p,^_i zusammengenommen wieder die Zahlen 0,1, 2,...,p,+i—1 aus-
machen. Dasselbe gilt dann von 2P, p + ^,, und hieraus folgt, daß
auch die Reste der /z + 1 Zahlen
0, 2^, 2^, ..., 2c„
ein volles Restsystem 0,'l,2,...,p,_^—1 ausmachen müssen. Damit
es auf der (r+l)-ten Stufe Lücken zahlfolgen mit den
Differenzen 2d^, 2^2,-..,2d„ gibt, wenn deren auf der
r-ten Stufe vorhanden sind, ist mithin notwendig
und hinreichend, daß die genannten ^n+1 Zahlen kein
volles Restsystem gegen p,_^ ergeben.
Die soeben abgeleitete Bedingung ist erfüllt, wenn /z + 1 kleiner
als p^ ausfällt. Demnach sind alle auf der r-ten Stufe
vorhandenen Differenzenfolgen, die aus weniger als
Pr+i — 1 Differenzen bestehen, beständige Folgen. Im
besonderen sind alle zwei- und dreigliedrigen Folgen erster Stufe
beständig; es kommen hinzu alle vier- und fünfgliedrigen Folgen
der zweiten Stufe, alle sechs- bis neungliedrigen Folgen der dritten
Stufe usw. Folglich gilt der Lehrsatz:
Damit eine /z-gliedrige Folge 2Ü^, 2^,...,2^„ &c-
ist, muß sie erstens auf der ersten Stufe
Vorkommen, also das Kennzeichen erster Stufe er-
füllen, und zweitens müssen die Reste der /z+1 Zah-
len 0, 2(?i, 2(72, ...,2<7„ gegen die Primzahlen 5, 7, ...,p,
niemals ein volles Restsystem bilden, wenn p, so
gewählt wird, daß p^ —1 noch kleiner, p,^ —1 aber
schon, größer als p. ausfällt. Diese Bedingung ist
hinreichend, aber auch notwendig.
Als Beispiele beständiger Folgen hat man zunächst die zwei-
und dreigliedrigen Grundfolgen erster Stufe (siehe Tafel 10). Von
den dort aufgezählten viergliedrigen Grundformen gingen auf der
zweiten Stufe verloren die folgenden vier:
(2, 4, 2, 6), (2, 4, 6, 6), (4, 2, 6, 6), (6, 6, 6, 6).
Die übrigen 13 Folgen sind beständig.