Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 11. (A. 2) 15
Weitere Beispiele ergeben sich nach einer Bemerkung von
WEiNREiCH, wenn man irgendeine steigende Folge von Primzahlen
nimmt, bei der die Anzahl der Glieder kleiner ist als das erste
Glied; denn wird das erste Glied mit p,+i bezeichnet, so ist es eine
Lückenzahl r-ter Stufe; dasselbe gilt von allen folgenden Gliedern
und nach Voraussetzung ist die Anzahl aller Glieder, p. + l, kleiner
als p,+i; die zugehörigen Differenzen 24^, ...,2d„ bilden also eine
beständige Folge. Wenn /z+1 gleich oder größer als p,_^ ist, kann
die Folge ebenfalls beständig sein; es kann aber auch das Gegen-
teil eintreten. Ein Beispiel für den ersten Fall sind die Differenzen
der Folge der 16 Primzahlen von 13 bis 73, für den zweiten Fall
die Differenzen der Folge der 16 Primzahlen von 11 bis 71.
WEiNREiCH hat auch erkannt, daß die symmetrischen Folgen
der 2r —1 Differenzen
2r, ..., 10, 8, 6, 4, 2, 4, 6, 8, 10,
für jeden Wert von r beständig sind. Wenn man nämlich von
den Zahlen 0,2oi,2oo, ...,2(?2,,_i immer r(r + l) —1 abzieht, ergeben
sich die 2r Zahlen +[p(p + l) —1]; beim Pluszeichen ist p = 2,3, ...,r,
beim Minuszeichen p=W,l, ...,r zu setzen. Nun wird das Rest-
system in bezug auf eine ungerade Primzahl p nicht geändert,
wenn man mit 4 multipliziert; mithin sind die Reste gegen p, die
bei den 2r Zahlen auftreten können, enthalten unter den Resten
gegen p der Zahlen +(a^—5) bei ungeraden Werten von 2. Das
sind aber bekanntlich höchstens p—1 Reste. Folglich erhält man
niemals alle p Reste 0,1, ...,p—1, und die Folge bleibt beim Über-
gang zu einer höheren Stufe stets erhalten.
§ 11
Die H-Fiinktionen
Die folgenden Untersuchungen beziehen sich ausschließlich auf
beständige ^n-gliedrige Folgen von Differenzen 2d^,2^, ...,2d„.
Die Anzahl der Lückenzahlfolgen r-ter Stufe mit den gegebenen
Differenzen, die Lückenzahlen des Hauptabschnittes zu Anfangs-
zahlen haben, soll mit Tü(2di, 2dg, ...,2d„) bezeichnet werden.
Der im vorhergehenden Paragraphen angebahnte Schluß von r auf
r+1 führt zu der Gleichung
Weitere Beispiele ergeben sich nach einer Bemerkung von
WEiNREiCH, wenn man irgendeine steigende Folge von Primzahlen
nimmt, bei der die Anzahl der Glieder kleiner ist als das erste
Glied; denn wird das erste Glied mit p,+i bezeichnet, so ist es eine
Lückenzahl r-ter Stufe; dasselbe gilt von allen folgenden Gliedern
und nach Voraussetzung ist die Anzahl aller Glieder, p. + l, kleiner
als p,+i; die zugehörigen Differenzen 24^, ...,2d„ bilden also eine
beständige Folge. Wenn /z+1 gleich oder größer als p,_^ ist, kann
die Folge ebenfalls beständig sein; es kann aber auch das Gegen-
teil eintreten. Ein Beispiel für den ersten Fall sind die Differenzen
der Folge der 16 Primzahlen von 13 bis 73, für den zweiten Fall
die Differenzen der Folge der 16 Primzahlen von 11 bis 71.
WEiNREiCH hat auch erkannt, daß die symmetrischen Folgen
der 2r —1 Differenzen
2r, ..., 10, 8, 6, 4, 2, 4, 6, 8, 10,
für jeden Wert von r beständig sind. Wenn man nämlich von
den Zahlen 0,2oi,2oo, ...,2(?2,,_i immer r(r + l) —1 abzieht, ergeben
sich die 2r Zahlen +[p(p + l) —1]; beim Pluszeichen ist p = 2,3, ...,r,
beim Minuszeichen p=W,l, ...,r zu setzen. Nun wird das Rest-
system in bezug auf eine ungerade Primzahl p nicht geändert,
wenn man mit 4 multipliziert; mithin sind die Reste gegen p, die
bei den 2r Zahlen auftreten können, enthalten unter den Resten
gegen p der Zahlen +(a^—5) bei ungeraden Werten von 2. Das
sind aber bekanntlich höchstens p—1 Reste. Folglich erhält man
niemals alle p Reste 0,1, ...,p—1, und die Folge bleibt beim Über-
gang zu einer höheren Stufe stets erhalten.
§ 11
Die H-Fiinktionen
Die folgenden Untersuchungen beziehen sich ausschließlich auf
beständige ^n-gliedrige Folgen von Differenzen 2d^,2^, ...,2d„.
Die Anzahl der Lückenzahlfolgen r-ter Stufe mit den gegebenen
Differenzen, die Lückenzahlen des Hauptabschnittes zu Anfangs-
zahlen haben, soll mit Tü(2di, 2dg, ...,2d„) bezeichnet werden.
Der im vorhergehenden Paragraphen angebahnte Schluß von r auf
r+1 führt zu der Gleichung