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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0031
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 31
Auf ähnliche Art, beweist man die Gleichungen
(125)
V(4,2,4)
= W,(4,2,4) = 2P,"",
(126)
V(4,6)
C-l
!
!t
(127)
V(M)
sie gelten von der zweiten Stufe ab.
Bei der Bestimmung von U^(12) stößt man bereits auf
^-Funktionen U^(2z)^,2z)^i,2Hg_^2,2z!^g), die nicht gleich den
entsprechenden ZUFunktionen sind, und bedarf daher allgemeine-
rer Formeln. Es ist jedoch leicht, die Gleichungen (116) und (120)
auf die Anzahlen auszudehnen, mit denen beliebige /z-gliedrige
Abschnitte 2zü, 2/)^^,..., 2/1^,,im Hauptabschnitt Vorkommen.
Bei hinreichend hoher Stufenzahl stammen aus der unmittelbaren
Übertragung von der r-ten auf die (r+l)-te Stufe (p,_^—l)-mal
soviel Folgen mit den gegebenen Urdifferenzen als vorher auf-
traten. Bei der Verschmelzung aber können, wenn die Stufenzahl
wieder hinreichend hoch ist, nur (^z + l)-gliedrige Abschnitte in
Betracht kommen, bei denen zwei Urdifferenzen sich vereinigen,
und man erschließt so die Richtigkeit der allgemeinen Formel
^Ü- + l(^C ^C+l' -
= Z,(2Hg, 2zü_]_i, ..., 2xü_j_,,_i) - (p,_),i —l)
+ A^(2^,2zl^,...,2^+„) ;
die Summe ist über alle (/z + l)-gliedrigen Abschnitte zu erstrecken,
die entstehen, wenn eine der gegebenen /z Urdifferenzen in eine
Summe von zwei geraden Zahlen zerlegt wird. Falls keine dieser
Zerlegungen zu einem zulässigen (/z+l)-gliedrigen Abschnitt führt,
ist die betreffende U-Funktion gleich der TZ-Funktion für dieselbe
Differenzenfolge. Eine solche Differenzenfolge soll unzerlegbar
heißen.
Um eine Funktion U,(2zü) mittels der Formel (128) zu be-
rechnen, hat man im Hauptabschnitt r-ter Stufe sämtliche Ab-
schnitte von Urdifferenzen herzustellen, die aus 2H^ durch fort-
gesetzte Zerlegung entspringen. Man beginnt mit den zweiglied-
rigen Abschnitten, gewinnt daraus die dreigliedrigen, schreitet
fort zu den viergliedrigen und so weiter. Das Verfahren endet,
(128)
Auf ähnliche Art, beweist man die Gleichungen
(125)
V(4,2,4)
= W,(4,2,4) = 2P,"",
(126)
V(4,6)
C-l
!
!t
(127)
V(M)
sie gelten von der zweiten Stufe ab.
Bei der Bestimmung von U^(12) stößt man bereits auf
^-Funktionen U^(2z)^,2z)^i,2Hg_^2,2z!^g), die nicht gleich den
entsprechenden ZUFunktionen sind, und bedarf daher allgemeine-
rer Formeln. Es ist jedoch leicht, die Gleichungen (116) und (120)
auf die Anzahlen auszudehnen, mit denen beliebige /z-gliedrige
Abschnitte 2zü, 2/)^^,..., 2/1^,,im Hauptabschnitt Vorkommen.
Bei hinreichend hoher Stufenzahl stammen aus der unmittelbaren
Übertragung von der r-ten auf die (r+l)-te Stufe (p,_^—l)-mal
soviel Folgen mit den gegebenen Urdifferenzen als vorher auf-
traten. Bei der Verschmelzung aber können, wenn die Stufenzahl
wieder hinreichend hoch ist, nur (^z + l)-gliedrige Abschnitte in
Betracht kommen, bei denen zwei Urdifferenzen sich vereinigen,
und man erschließt so die Richtigkeit der allgemeinen Formel
^Ü- + l(^C ^C+l' -
= Z,(2Hg, 2zü_]_i, ..., 2xü_j_,,_i) - (p,_),i —l)
+ A^(2^,2zl^,...,2^+„) ;
die Summe ist über alle (/z + l)-gliedrigen Abschnitte zu erstrecken,
die entstehen, wenn eine der gegebenen /z Urdifferenzen in eine
Summe von zwei geraden Zahlen zerlegt wird. Falls keine dieser
Zerlegungen zu einem zulässigen (/z+l)-gliedrigen Abschnitt führt,
ist die betreffende U-Funktion gleich der TZ-Funktion für dieselbe
Differenzenfolge. Eine solche Differenzenfolge soll unzerlegbar
heißen.
Um eine Funktion U,(2zü) mittels der Formel (128) zu be-
rechnen, hat man im Hauptabschnitt r-ter Stufe sämtliche Ab-
schnitte von Urdifferenzen herzustellen, die aus 2H^ durch fort-
gesetzte Zerlegung entspringen. Man beginnt mit den zweiglied-
rigen Abschnitten, gewinnt daraus die dreigliedrigen, schreitet
fort zu den viergliedrigen und so weiter. Das Verfahren endet,
(128)