Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 43
das heißt die Werte von p, bei denen Teilbarkeit durch p^ statt-
findet, mögen der Reihe nach heißen
bo, b^), bo, bo";
bl, b^, bl', bl"-
Wenn, wie vorausgesetzt wurde, r mindestens gleich 2 und daher
p,+i mindestens gleich 7 ist, so sind die Zahlen %, %, p(,', p^' von-
einander verschieden, und dasselbe gilt auch von den Zahlen
bi, bi, bi', bi"- Dagegen können Zahlen mit dem Zeiger Null gleich
Zahlen mit dem Zeiger Eins sein. Hierbei sind verschiedene Mög-
lichkeiten zu unterscheiden, die der Reihe nach durchgenommen
werden sollen.
I. Alle 8 Aus nähme werte sind voneinander ver-
schieden. Dann gibt es 8 unzulässige Wertepaare pW, und es
gilt die Formel
(159) (30^+i) = gf(30^) - (p,+i-8) .
In diesem Fall ist keine der 9 Zahlen 2W(We) + f^ + w,.+ 0,2,4,...,16
durch p^ teilbar, also auch keine der 9 Zahlen 30^i + 0, + 2,
+ 4, + 6, +8. Und ist keine der 9 Zahlen 30v^^+0,+2,+4,±6, + 8
durch p^ teilbar, so sind alle 8 Ausnahmezahlen voneinander
verschieden.
Der Fall I kann nicht eintreten, wenn p^+i = 7 ist; denn unter
8 Zahlen, die der Reihe 0,1,2,..., 6 entnommen sind, befinden
sich mindestens zwei gleiche. Hiermit steht in Einklang, daß unter
den 9 geraden Zahlen 30&,.,^ + 0,+2,+4,+6,+8 mindestens eine
durch 7 teilbar ist. Es können aber auch zwei dieser Zahlen den
Teiler 7 haben, und da sie sich dann um 14 unterscheiden, so er-
kennt man leicht, daß nur die beiden Paare 30^_^^—6, 30.$^+8
und 30$,._^—8, 30.p._^+6 gleichzeitig durch 7 teilbar sind oder nicht.
II. 30^^_^ ist durch p^ teilbar. Dann ist, wie die Be-
trachtung der 8 Zahlen (158) lehrt:
bo = bT, b!) = bi', bo' = b(, bo" = bi-
Mehr Ausnahmewerte können nicht einander gleich sein, weil sonst
noch eine der 8 Zahlen 30.p._^ + 2, ...,+8 durch p,.+i teilbar
das heißt die Werte von p, bei denen Teilbarkeit durch p^ statt-
findet, mögen der Reihe nach heißen
bo, b^), bo, bo";
bl, b^, bl', bl"-
Wenn, wie vorausgesetzt wurde, r mindestens gleich 2 und daher
p,+i mindestens gleich 7 ist, so sind die Zahlen %, %, p(,', p^' von-
einander verschieden, und dasselbe gilt auch von den Zahlen
bi, bi, bi', bi"- Dagegen können Zahlen mit dem Zeiger Null gleich
Zahlen mit dem Zeiger Eins sein. Hierbei sind verschiedene Mög-
lichkeiten zu unterscheiden, die der Reihe nach durchgenommen
werden sollen.
I. Alle 8 Aus nähme werte sind voneinander ver-
schieden. Dann gibt es 8 unzulässige Wertepaare pW, und es
gilt die Formel
(159) (30^+i) = gf(30^) - (p,+i-8) .
In diesem Fall ist keine der 9 Zahlen 2W(We) + f^ + w,.+ 0,2,4,...,16
durch p^ teilbar, also auch keine der 9 Zahlen 30^i + 0, + 2,
+ 4, + 6, +8. Und ist keine der 9 Zahlen 30v^^+0,+2,+4,±6, + 8
durch p^ teilbar, so sind alle 8 Ausnahmezahlen voneinander
verschieden.
Der Fall I kann nicht eintreten, wenn p^+i = 7 ist; denn unter
8 Zahlen, die der Reihe 0,1,2,..., 6 entnommen sind, befinden
sich mindestens zwei gleiche. Hiermit steht in Einklang, daß unter
den 9 geraden Zahlen 30&,.,^ + 0,+2,+4,+6,+8 mindestens eine
durch 7 teilbar ist. Es können aber auch zwei dieser Zahlen den
Teiler 7 haben, und da sie sich dann um 14 unterscheiden, so er-
kennt man leicht, daß nur die beiden Paare 30^_^^—6, 30.$^+8
und 30$,._^—8, 30.p._^+6 gleichzeitig durch 7 teilbar sind oder nicht.
II. 30^^_^ ist durch p^ teilbar. Dann ist, wie die Be-
trachtung der 8 Zahlen (158) lehrt:
bo = bT, b!) = bi', bo' = b(, bo" = bi-
Mehr Ausnahmewerte können nicht einander gleich sein, weil sonst
noch eine der 8 Zahlen 30.p._^ + 2, ...,+8 durch p,.+i teilbar