44 (A.2)
PAUL SlÄCKEL:
wäre. Mithin gibt es vier unzulässige Wertepaare ??, 4, und es
gilt die Formel
(160) -
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig.
III. 30.y,_^+2 ist durch teilbar. Dann ist
bei +2: = = bei -2: = h!) = %-
Mithin gibt es sechs unzulässige Wertepaare ??, 4, und es gilt die
Formel
(161) +f+30,,+ = +"'(30,+ ++,-6).
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig.
IV. 30^_^^+4 ist durch teilbar. Dann ist
bei +4: ?7o'=?7i'; bei —V ^o = ^i-
Mithin gibt es sieben unzulässige Wertepaare ??, 4, und es gilt die
Formel
(162) (3Ü3,+i) = (30^) - (p,+i-7) .
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig und zeigt, daß die Zah-
len 30ng, hei denen 30^ + 4 durch 7 teilbar ist, keine
Vierlingsdarstellungen gestatten.
Es ist leicht, dies unmittelbar zu beweisen. Die erste Zahl
eines Vierlings muß nämlich eine der sechs Formen haben
210/^ + 11,41, 71,101,131,191. Damit die zweite Zahl Lückenzahl,
also von der dritten Stufe ab nicht durch 7 teilbar ist, fällt 131
weg, wegen der dritten Zahl 71, wegen der vierten 41. Die An-
fangszahlen der Vierlinge haben demnach von der dritten Stufe
ab die Formen 210^ + 11, 101, 191, die Endzahlen die Formen
210^ + 19,109,199. Bei der Summation einer Anfangs-und einer
Endzahl sind daher nur die 9 in dem Täfelchen zusammengestell-
ten Fälle möglich:
PAUL SlÄCKEL:
wäre. Mithin gibt es vier unzulässige Wertepaare ??, 4, und es
gilt die Formel
(160) -
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig.
III. 30.y,_^+2 ist durch teilbar. Dann ist
bei +2: = = bei -2: = h!) = %-
Mithin gibt es sechs unzulässige Wertepaare ??, 4, und es gilt die
Formel
(161) +f+30,,+ = +"'(30,+ ++,-6).
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig.
IV. 30^_^^+4 ist durch teilbar. Dann ist
bei +4: ?7o'=?7i'; bei —V ^o = ^i-
Mithin gibt es sieben unzulässige Wertepaare ??, 4, und es gilt die
Formel
(162) (3Ü3,+i) = (30^) - (p,+i-7) .
Sie ist auch für die Primzahl 7 richtig und zeigt, daß die Zah-
len 30ng, hei denen 30^ + 4 durch 7 teilbar ist, keine
Vierlingsdarstellungen gestatten.
Es ist leicht, dies unmittelbar zu beweisen. Die erste Zahl
eines Vierlings muß nämlich eine der sechs Formen haben
210/^ + 11,41, 71,101,131,191. Damit die zweite Zahl Lückenzahl,
also von der dritten Stufe ab nicht durch 7 teilbar ist, fällt 131
weg, wegen der dritten Zahl 71, wegen der vierten 41. Die An-
fangszahlen der Vierlinge haben demnach von der dritten Stufe
ab die Formen 210^ + 11, 101, 191, die Endzahlen die Formen
210^ + 19,109,199. Bei der Summation einer Anfangs-und einer
Endzahl sind daher nur die 9 in dem Täfelchen zusammengestell-
ten Fälle möglich: