6 (A.5)
ALFRED LOEWY:
best eilt. Mithin kann man den zu beweisenden Satz auch so
aussprechen: Besteht d e r R a t i o n a 1 i t. ä t s b e r e i c h A nicht
aus lauter Konstanten, so kann zu jeder Matrix iß?
eine B e g 1 c i t m a t r i x 35 des gleichen Grades gefunden
werden, daß iß? und 35 gegenseitig von derselben Art
sind. Hat man die Matrix iß? in eine Begleitmatrix 35 des gleichen
Grades transformiert, so kann man diese in der nämlichen Weise
weiter behandeln, wie ich es in meinem Aufsatz b in den Göttinger
Nachrichten allgemein für Begleitmatrizen auseinandergesetzt habe.
Wesentlich für das mitgeteilte Resultat ist, daß der Rationali-
tätsbereich A nicht aus I a u t e r K <) n s t a n t e n besteht, sondern
wirkliche Funktionen der Variablen n enthält. Unser Satz gilt
n ä m 1 i c h n i c h t, wenn d e r R a t i o n a 1 i t ä t s b e r e i c h A nur
aus Konstanten besteht, in diesem Falle kann man nicht stets
Begleitmatrizen vom Grade w = % erzielen. Vielmehr ist dann, wor-
auf aber hier nicht näher eingegangen werden soll, das Maximum für
den Grad einer Begleitmatrix 35 von iß? durch den Grad der re-
duzierten charakteristischen Funktion von —iß? bestimmt, und
zwar besteht zwischen den zwei genannten A'latrizen der folgende
Zusammenhang: Ist 35 die Begleitmatrix vom höchsten Grade w,
die unter Zugrundelegung eines Rationalitätsbereiches mit kon-
stanten Koeffizienten zu einer Alatrix iß? mit konstanten Koeffi-
zienten gehört, so ist + + -che reduzierte
charakteristische Funktion der Alatrix —35?, d. h. —iß? genügt der
Alatrizengleichung
+ (-iß?)'" = o
Ö+e, (-i'X) + 6. (-9X)'+... + A,„ (-W)
und keiner Gleichung von niedrigerem Grade; die reduzierte charak-
teristische Funktion einer Matrix mit konstanten Koeffizienten
besitzt aber bekanntlich nur unter besonderen Bedingungen den
gleichen Grad wie die vorgelegte Matrix.
Betrachtet man das durch die Alatrix iß? oder durch ihr Dif-
ferentialsystem
b Die Begleitmatrix eines linearen homogenen Differentialausdruckes,
Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1917.
ALFRED LOEWY:
best eilt. Mithin kann man den zu beweisenden Satz auch so
aussprechen: Besteht d e r R a t i o n a 1 i t. ä t s b e r e i c h A nicht
aus lauter Konstanten, so kann zu jeder Matrix iß?
eine B e g 1 c i t m a t r i x 35 des gleichen Grades gefunden
werden, daß iß? und 35 gegenseitig von derselben Art
sind. Hat man die Matrix iß? in eine Begleitmatrix 35 des gleichen
Grades transformiert, so kann man diese in der nämlichen Weise
weiter behandeln, wie ich es in meinem Aufsatz b in den Göttinger
Nachrichten allgemein für Begleitmatrizen auseinandergesetzt habe.
Wesentlich für das mitgeteilte Resultat ist, daß der Rationali-
tätsbereich A nicht aus I a u t e r K <) n s t a n t e n besteht, sondern
wirkliche Funktionen der Variablen n enthält. Unser Satz gilt
n ä m 1 i c h n i c h t, wenn d e r R a t i o n a 1 i t ä t s b e r e i c h A nur
aus Konstanten besteht, in diesem Falle kann man nicht stets
Begleitmatrizen vom Grade w = % erzielen. Vielmehr ist dann, wor-
auf aber hier nicht näher eingegangen werden soll, das Maximum für
den Grad einer Begleitmatrix 35 von iß? durch den Grad der re-
duzierten charakteristischen Funktion von —iß? bestimmt, und
zwar besteht zwischen den zwei genannten A'latrizen der folgende
Zusammenhang: Ist 35 die Begleitmatrix vom höchsten Grade w,
die unter Zugrundelegung eines Rationalitätsbereiches mit kon-
stanten Koeffizienten zu einer Alatrix iß? mit konstanten Koeffi-
zienten gehört, so ist + + -che reduzierte
charakteristische Funktion der Alatrix —35?, d. h. —iß? genügt der
Alatrizengleichung
+ (-iß?)'" = o
Ö+e, (-i'X) + 6. (-9X)'+... + A,„ (-W)
und keiner Gleichung von niedrigerem Grade; die reduzierte charak-
teristische Funktion einer Matrix mit konstanten Koeffizienten
besitzt aber bekanntlich nur unter besonderen Bedingungen den
gleichen Grad wie die vorgelegte Matrix.
Betrachtet man das durch die Alatrix iß? oder durch ihr Dif-
ferentialsystem
b Die Begleitmatrix eines linearen homogenen Differentialausdruckes,
Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1917.