Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 25
System (20) die g + 1 Größen - eindeutig bestimmen.
Im besonderen findet man für die letztere:
PoQ S* +
d A
d*A
da:
da:
da:
- +
da:*
hoi ^ ^ hu
dA
' +hAl
d*A
da:
da:
da:
da:*
^(f^di)
^ .. . .
+
d A
da:
' +/Ug
d*A
da:
daü"^
da:*
Entwickelt man die auf der rechten Seite im Zähler stehende
Determinante nach den Elementen der letzten Spalte, so erhält
man eine Gleichung der Form
(21) 1
dA
da:
d*A \
da:* /
dabei hängen ganz und rational ab von den Funk-
tionen (;' = 0,1, 2,..., A; A = 0,1, 2,..., g), von der Funktion /(a:)
und ihren Ableitungen sowie von der Unbestimmten y^ und ihren
Ableitungen. Bedient man sich der Integralexistenz, so sieht man
die Unmöglichkeit der Gleichung (21) folgendermaßen ein : y sei
ein Integral der linearen homogenen Differentialgleichung
d^ d^y^
^ da:^^ ^ da:^
Setzt man in (21) für die Unbestimmte y^ die Funktion y,
so verschwindet auf der rechten Seite der Formel (21) der Zähler,
während der Nenner y^lF(/,/^, ...,/^) ungleich Null ist. Man
erhält mithin die unrichtige Gleichung 1 = 0. Diese zeigt, daß
unsere Annahme unmöglich ist. Wählt man also in (11) für
der Reihe nach die Funktionen so kommt man min-
destens einmal zu einem Funktionensystem .--,M.g^i, das
nicht in linearer Dependenz ist. Da dies dem bereits erledigten
vorigen Fall entspricht, ist unser Satz endgültig bewiesen.
System (20) die g + 1 Größen - eindeutig bestimmen.
Im besonderen findet man für die letztere:
PoQ S* +
d A
d*A
da:
da:
da:
- +
da:*
hoi ^ ^ hu
dA
' +hAl
d*A
da:
da:
da:
da:*
^(f^di)
^ .. . .
+
d A
da:
' +/Ug
d*A
da:
daü"^
da:*
Entwickelt man die auf der rechten Seite im Zähler stehende
Determinante nach den Elementen der letzten Spalte, so erhält
man eine Gleichung der Form
(21) 1
dA
da:
d*A \
da:* /
dabei hängen ganz und rational ab von den Funk-
tionen (;' = 0,1, 2,..., A; A = 0,1, 2,..., g), von der Funktion /(a:)
und ihren Ableitungen sowie von der Unbestimmten y^ und ihren
Ableitungen. Bedient man sich der Integralexistenz, so sieht man
die Unmöglichkeit der Gleichung (21) folgendermaßen ein : y sei
ein Integral der linearen homogenen Differentialgleichung
d^ d^y^
^ da:^^ ^ da:^
Setzt man in (21) für die Unbestimmte y^ die Funktion y,
so verschwindet auf der rechten Seite der Formel (21) der Zähler,
während der Nenner y^lF(/,/^, ...,/^) ungleich Null ist. Man
erhält mithin die unrichtige Gleichung 1 = 0. Diese zeigt, daß
unsere Annahme unmöglich ist. Wählt man also in (11) für
der Reihe nach die Funktionen so kommt man min-
destens einmal zu einem Funktionensystem .--,M.g^i, das
nicht in linearer Dependenz ist. Da dies dem bereits erledigten
vorigen Fall entspricht, ist unser Satz endgültig bewiesen.