Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 35
eine Sequcnte der Matrix 9F. Daher hat die lineare homogene
Differentialgleichung B = 0, wie im vorigen Satze bewiesen, alle in
= Pu l/i + P12 ^2 + ' " + Pi^^, enthaltenen Funktionen und auch
keine anderen zu Integralen, wenn Pi,jedes Integral-
System von
= ü durchlaufen. Infolgedessen hat B = 0
dieselben Integrale wie die durch Elimination aus dem System (G)
gewonnene Differentialgleichung, und beide müssen mithin identisch
sein. Insbesondere ist daher / = Da B eine Sequcnte von
ist, besteht auch noch die Relation (F) 35^)ß = —%?'+dabei
geht 35.^ durch Beifügen von Nullen aus der durch B definierten
Begleitmatrix 35 hervor und bedeutet die aus den Elementen
p^(i = I,2,...,u/; P = l, 2, ...,?/) gebildete Matrix. Hiermit sind
alle in unserem Satz gemachten Aussagen bewiesen.
Enthält der Rationalitätsbereich N eine wirkliche Funktion
von %, so kann man, wie im § 2 bewiesen wurde, durch geeignete
Wahl der Größen Pn, P12,---,PiM eine Begleitmatrix 35 von des
höchsten Grades n und daher auch eine Sequcnte B der
höchsten Ordnung n gewinnen. Verfügt man über Pn, P12,---,PiH.
derart, so besitzt die mit der Sequente B übereinstimmende lineare
homogene Differentialgleichung niedrigster Ordnung mit Koeffi-
zienten aus N, die durch = pnPi + P12P2 + - - - + Pi^p^ befriedigt
wird, ebenfalls die höchste Ordnung //. Anders ausgedrückt: Man
bZi ... rTi - 1
kann erreichen, daß z.,-, ... , , bei dem Gleichunns-
System (G) unabhängig sind, also die Determinante jp^j (2, A* = l,
2,nicht verschwindet q. Hiermit ist auch das zweite in der
Einleitung angegebene Resultat bewiesen.
h Infolgedessen ist nachgewiesen, daß die von Herrn L. ScHLEsiNGER,
Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen, Leipzig und Berlin, 1908,
8. 156 ff. betrachtete Determinante 7-.^ (f,^ = l,2,...,n,) nicht für jede
Wahl der 7-11,7*12, ---,^iw identisch verschwinden kann, wenn der Rationali-
tätsbereich eine Funktion von % enthält. Ein identisches Verschwinden der
Determinante ; 7-^ (i, /c = 1, 2, . . ., 7?) für jede Wahl der 7*n, 7-12, - - - , Du
kann nur eintreten, wenn der Rationalitätsbereich bloß aus Konstanten
besteht und die reduzierte charakteristische Funktion der Matrix —9R [bei
Herrn ScHLEsiNGER ist die Matrix —3R mit A —Ha^j (d^ = l,2,...,u)
bezeichnet] einen Grad 777 <71 hat. Auch hier kann nicht zwischen
2/1, 2/2,---,2/M eine homogene lineare Relation mit Koeffizienten aus dem
Rationalitätsbereich bestehen; denn eine solche würde das Verschwinden
3*
eine Sequcnte der Matrix 9F. Daher hat die lineare homogene
Differentialgleichung B = 0, wie im vorigen Satze bewiesen, alle in
= Pu l/i + P12 ^2 + ' " + Pi^^, enthaltenen Funktionen und auch
keine anderen zu Integralen, wenn Pi,jedes Integral-
System von
= ü durchlaufen. Infolgedessen hat B = 0
dieselben Integrale wie die durch Elimination aus dem System (G)
gewonnene Differentialgleichung, und beide müssen mithin identisch
sein. Insbesondere ist daher / = Da B eine Sequcnte von
ist, besteht auch noch die Relation (F) 35^)ß = —%?'+dabei
geht 35.^ durch Beifügen von Nullen aus der durch B definierten
Begleitmatrix 35 hervor und bedeutet die aus den Elementen
p^(i = I,2,...,u/; P = l, 2, ...,?/) gebildete Matrix. Hiermit sind
alle in unserem Satz gemachten Aussagen bewiesen.
Enthält der Rationalitätsbereich N eine wirkliche Funktion
von %, so kann man, wie im § 2 bewiesen wurde, durch geeignete
Wahl der Größen Pn, P12,---,PiM eine Begleitmatrix 35 von des
höchsten Grades n und daher auch eine Sequcnte B der
höchsten Ordnung n gewinnen. Verfügt man über Pn, P12,---,PiH.
derart, so besitzt die mit der Sequente B übereinstimmende lineare
homogene Differentialgleichung niedrigster Ordnung mit Koeffi-
zienten aus N, die durch = pnPi + P12P2 + - - - + Pi^p^ befriedigt
wird, ebenfalls die höchste Ordnung //. Anders ausgedrückt: Man
bZi ... rTi - 1
kann erreichen, daß z.,-, ... , , bei dem Gleichunns-
System (G) unabhängig sind, also die Determinante jp^j (2, A* = l,
2,nicht verschwindet q. Hiermit ist auch das zweite in der
Einleitung angegebene Resultat bewiesen.
h Infolgedessen ist nachgewiesen, daß die von Herrn L. ScHLEsiNGER,
Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen, Leipzig und Berlin, 1908,
8. 156 ff. betrachtete Determinante 7-.^ (f,^ = l,2,...,n,) nicht für jede
Wahl der 7-11,7*12, ---,^iw identisch verschwinden kann, wenn der Rationali-
tätsbereich eine Funktion von % enthält. Ein identisches Verschwinden der
Determinante ; 7-^ (i, /c = 1, 2, . . ., 7?) für jede Wahl der 7*n, 7-12, - - - , Du
kann nur eintreten, wenn der Rationalitätsbereich bloß aus Konstanten
besteht und die reduzierte charakteristische Funktion der Matrix —9R [bei
Herrn ScHLEsiNGER ist die Matrix —3R mit A —Ha^j (d^ = l,2,...,u)
bezeichnet] einen Grad 777 <71 hat. Auch hier kann nicht zwischen
2/1, 2/2,---,2/M eine homogene lineare Relation mit Koeffizienten aus dem
Rationalitätsbereich bestehen; denn eine solche würde das Verschwinden
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