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https://doi.org/10.11588/diglit.36513#0007
Zur Abwehr.
(A.5) 7
Letztlich macht man auch die mittlere Ordnung, als: Einmal
Nulla ist nichts, eins dazu ist eins; 3 mal eins ist 3^, Nulla dazu
ist 3und 6 mal 3 ist 18, eins dazu ist 19; und 4 mal 19 ist 76,
und 3 dazu ist 79; und 2 mal 79 ist 158, und 19 dazu, ist 177;
stehet also (Fig. 3):
Nun sihet man hieraus, daß erstlich zu unterst der Bruch
gantz vollkommen herauskommt; nun möchte ein Mechanicus den
andern darüber brauchen als FE ; wäre aber dieser noch zu groß,
könte er den dritten nehmen, als E, oder den vierdten A; doch
ist hiebey zu wissen, je weiter man von dem untersten hinauf-
steiget, je mehr es fehlet. Zum Exempel EL seynd näher bei EL
als E, und E näher als A und so fortan, welches eine sehr nütz-
liche Regul in dem Landmessen.«
Man sieht hieraus folgendes. ScHWENTER stellt sich die Auf-
gabe, eine rationale Zahl durch einen Bruch mit kleinerem Zähler
und Nenner zu approximieren. Das Verfahren, das er dazu an-
gibt, ist nichts andres als die sukzessive Berechnung der Nähe-
rungsbrüche, indem er zuerst beschreibt, wie man durch den
EuKLiDischen Algorithmus das erhält, was wir heute die unvoll-
ständigen Quotienten nennen, und dann lehrt, wie man aus den
unvollständigen Quotienten rekursorisch die Näherungsbrüche fin-
det. Hätte es damals überhaupt eine Formelsprache gegeben, er
würde nicht verfehlt haben, die Rekursionsformel hinzuschreiben;
denn er verstand sie anzuwenden. Wenn also ScHWENTER bei der
Aufgabe, eine rationale Zahl zu approximieren, gerade die Nähe-
rungsbrüche angegeben hat, so wird man wohl sagen dürfen, die
Tatsache, daß diese sich am besten dazu eignen, d. h. das Gesetz
der besten Näherung sei ihm im wesentlichen bekannt gewesen,
zumal in der Geometria practica noch steht, es gebe viele der-
artige Regeln, aber die beste sei eben diese (die beste geheimeste
und künstlichste, wie Herr BoRTOLOTTi selbst zitiert). Daß
ScHWENTER das Gesetz der besten Näherung nicht als Lehrsatz
formuliert, daß er keinen Beweis gibt und daß er sich auf ratio-
nale Zahlen, d. h. endliche Kettenbrüche beschränkt, wird ihm
niemand übelnehmen können.
^ Bei ScHWENTER steht irrtümlich &eins« statt &3«; aber die Figur hat
auch im Original die richtige Zahl 3.
(A.5) 7
Letztlich macht man auch die mittlere Ordnung, als: Einmal
Nulla ist nichts, eins dazu ist eins; 3 mal eins ist 3^, Nulla dazu
ist 3und 6 mal 3 ist 18, eins dazu ist 19; und 4 mal 19 ist 76,
und 3 dazu ist 79; und 2 mal 79 ist 158, und 19 dazu, ist 177;
stehet also (Fig. 3):
Nun sihet man hieraus, daß erstlich zu unterst der Bruch
gantz vollkommen herauskommt; nun möchte ein Mechanicus den
andern darüber brauchen als FE ; wäre aber dieser noch zu groß,
könte er den dritten nehmen, als E, oder den vierdten A; doch
ist hiebey zu wissen, je weiter man von dem untersten hinauf-
steiget, je mehr es fehlet. Zum Exempel EL seynd näher bei EL
als E, und E näher als A und so fortan, welches eine sehr nütz-
liche Regul in dem Landmessen.«
Man sieht hieraus folgendes. ScHWENTER stellt sich die Auf-
gabe, eine rationale Zahl durch einen Bruch mit kleinerem Zähler
und Nenner zu approximieren. Das Verfahren, das er dazu an-
gibt, ist nichts andres als die sukzessive Berechnung der Nähe-
rungsbrüche, indem er zuerst beschreibt, wie man durch den
EuKLiDischen Algorithmus das erhält, was wir heute die unvoll-
ständigen Quotienten nennen, und dann lehrt, wie man aus den
unvollständigen Quotienten rekursorisch die Näherungsbrüche fin-
det. Hätte es damals überhaupt eine Formelsprache gegeben, er
würde nicht verfehlt haben, die Rekursionsformel hinzuschreiben;
denn er verstand sie anzuwenden. Wenn also ScHWENTER bei der
Aufgabe, eine rationale Zahl zu approximieren, gerade die Nähe-
rungsbrüche angegeben hat, so wird man wohl sagen dürfen, die
Tatsache, daß diese sich am besten dazu eignen, d. h. das Gesetz
der besten Näherung sei ihm im wesentlichen bekannt gewesen,
zumal in der Geometria practica noch steht, es gebe viele der-
artige Regeln, aber die beste sei eben diese (die beste geheimeste
und künstlichste, wie Herr BoRTOLOTTi selbst zitiert). Daß
ScHWENTER das Gesetz der besten Näherung nicht als Lehrsatz
formuliert, daß er keinen Beweis gibt und daß er sich auf ratio-
nale Zahlen, d. h. endliche Kettenbrüche beschränkt, wird ihm
niemand übelnehmen können.
^ Bei ScHWENTER steht irrtümlich &eins« statt &3«; aber die Figur hat
auch im Original die richtige Zahl 3.