EINLEITUNG.
Der geometrisch naheliegende Gedanke, ein räumliches, zwei-
dimensionales Analogon zu den Isogonaltrajektorien eines ebenen
Strahlenbüschels, den logarithmischen Spiralen, zu suchen, führt
zu den Flächen, welche die Strahlen eines Bündels unter festem
Winkel schneiden.
Diese Flächen sind zu wiederholten Malen, wenn auch ziem-
lich kurz, behandelt worden1; über den Inhalt der darüber vor-
liegenden Arbeiten ist zusammenfassend das Folgende zu sagen:
Als Erster hat G. Scheffers auf die Isogonaltrajektorien
eines Strahlenbündels hingewiesen2. Durch Anwendung allgemei-
ner Betrachtungen über Loxodromen, im Zusammenhänge mit der
Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung, werden,
gleichzeitig mit einer allgemeinen Erzeugung dieser Flächen, ihre
Krümmungslinien angegeben. Die Erzeugung besteht, reell ge-
sprochen, darin, daß sich eine ebene logarithmische Spirale im
Raum um ihren Pol bewegt, ohne daß ihre Ebene auf dem Kegel,
den sie umhüllt, gleitet. Die Krümmungslinien des einen Systems
sind sphärische Kurven auf konzentrischen Kugeln mit dem Bün-
delmittelpunkt als Zentrum, die des andern Systems kongruente
logarithmische Spiralen mit dem Bündelmittelpunkt als gemein-
samem Pol. Auf diese Ergebnisse weist nochmals eine spätere,
kurze Note desselben Verfassers hin3.
Eingehender hat sich G. Landsberg4 auf analytischem Wege
mit den Isogonaltrajektorien eines Strahlenbündels befaßt. Er geht
1 Die Kenntnis der im folgenden angegebenen drei Abhandlungen ver-
dankt der Verfasser, dessen Ergebnisse damals schon großenteils vorlagen,
Herrn G. Scheffers.
2 G. Scheffers, Über Loxodromen. Leipz. Ber. Math.-phys. Kl. Bd. 54,
1902, S. 363-370.
3 G. Scheffers, Über die Isogonalflächen eines Strahlenbündels. Math.
Ann. Bd. 66, 1909, S. 575.
4 G. Landsberg, Über die Klasse der Flächen, welche ein Strahlen-
bündel unter festem Winkel schneiden. Math. Ann. Bd. 66,1909, S. 195 — 201.
Der geometrisch naheliegende Gedanke, ein räumliches, zwei-
dimensionales Analogon zu den Isogonaltrajektorien eines ebenen
Strahlenbüschels, den logarithmischen Spiralen, zu suchen, führt
zu den Flächen, welche die Strahlen eines Bündels unter festem
Winkel schneiden.
Diese Flächen sind zu wiederholten Malen, wenn auch ziem-
lich kurz, behandelt worden1; über den Inhalt der darüber vor-
liegenden Arbeiten ist zusammenfassend das Folgende zu sagen:
Als Erster hat G. Scheffers auf die Isogonaltrajektorien
eines Strahlenbündels hingewiesen2. Durch Anwendung allgemei-
ner Betrachtungen über Loxodromen, im Zusammenhänge mit der
Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung, werden,
gleichzeitig mit einer allgemeinen Erzeugung dieser Flächen, ihre
Krümmungslinien angegeben. Die Erzeugung besteht, reell ge-
sprochen, darin, daß sich eine ebene logarithmische Spirale im
Raum um ihren Pol bewegt, ohne daß ihre Ebene auf dem Kegel,
den sie umhüllt, gleitet. Die Krümmungslinien des einen Systems
sind sphärische Kurven auf konzentrischen Kugeln mit dem Bün-
delmittelpunkt als Zentrum, die des andern Systems kongruente
logarithmische Spiralen mit dem Bündelmittelpunkt als gemein-
samem Pol. Auf diese Ergebnisse weist nochmals eine spätere,
kurze Note desselben Verfassers hin3.
Eingehender hat sich G. Landsberg4 auf analytischem Wege
mit den Isogonaltrajektorien eines Strahlenbündels befaßt. Er geht
1 Die Kenntnis der im folgenden angegebenen drei Abhandlungen ver-
dankt der Verfasser, dessen Ergebnisse damals schon großenteils vorlagen,
Herrn G. Scheffers.
2 G. Scheffers, Über Loxodromen. Leipz. Ber. Math.-phys. Kl. Bd. 54,
1902, S. 363-370.
3 G. Scheffers, Über die Isogonalflächen eines Strahlenbündels. Math.
Ann. Bd. 66, 1909, S. 575.
4 G. Landsberg, Über die Klasse der Flächen, welche ein Strahlen-
bündel unter festem Winkel schneiden. Math. Ann. Bd. 66,1909, S. 195 — 201.