Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 7
Behandlung des Komplexen in der Geometrie erfordert, ließ es
sich nicht vermeiden, stellenweise auf scheinbar unwesentliche
Einzelheiten einzugehen. Besonders die Ausartungen, welche die
Metrik des Winkels im Komplexen aufweist, zwingen zu großer
Vorsicht beim Aussprechen von Sätzen, die komplex allgemein
gelten sollen, so daß deren Formulierung vielfach bei Beschrän-
kung auf das Reelle einfacher wäre. Trotzdem wurden die Be-
trachtungen komplex durchgeführt, nicht nur deshalb, weil die im
Problem und in den Methoden nicht begründete Beschränkung
auf das Reelle die Allgemeinheit der Ergebnisse unnötig beein-
trächtigen würde, sondern auch wegen des Auftretens einer be-
sonders einfachen, interessanten Klasse der hier behandelten Flä-
chen, die keinen Repräsentanten im Reellen hat.
Die notwendigen Bemerkungen über Ausartungen komplexer
Winkel sind Gegenstand des § 1, während § 2 von den Isogonal-
trajektorien eines Strahlenbüschels, den komplexen logarithmischen
Spiralen, handelt. Diese wurden nicht nur wegen der Analogie
mit dem räumlichen Problem in den Kreis der Betrachtungen ge-
zogen, sondern vor allem wegen ihres schon erwähnten Auftretens
als Krümmungslinien der Isogonalflächen und im Hinblick auf
ihre, von den Verhältnissen im Reellen in wesentlichen Punkten
abweichenden Eigenschaften. Um bei den späteren Betrachtungen
das wiederholte Erwähnen trivialer Ausnahmefälle der Isogonal-
flächen zu vermeiden, sind diese in § 3 vorweggenommen, womit
gleichzeitig notwendige einschränkende Voraussetzungen für alle
folgenden Überlegungen gewonnen werden. § 4 erledigt den Fall
des isogonal durchsetzten Parallelstrahlenbündels; die dabei auf-
tretenden Flächen sind die Böschungsflächen.
Damit sind die Fälle abgegrenzt, für welche die Betrachtun-
gen des mit § 5 beginnenden Hauptteiles nicht gelten. Diese han-
deln zunächst von den Krümmungslinien und suchen, als Erwei-
terung der weiter vorn erwähnten bekannten Sätze, Eigenschaften
der Krümmungslinien, die zur Charakterisierung der Isogonalflä-
chen notwendig und hinreichend sind. Nach Ergänzung dieser
Überlegungen durch die Untersuchung der Isogonaltrajektorien
der Krümmungslinien in § 6, bringt § 7 gemeinsame Erzeugungs-
der Kürze halber eine geometrische Ausdrucksweise beibehalten wurde, ist
sie nach dem eben Gesagten nie geometrisch-anschaulich zu verstehen, sondern
als bequemer Ausdruck für die entsprechenden analytischen Prozesse.
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Behandlung des Komplexen in der Geometrie erfordert, ließ es
sich nicht vermeiden, stellenweise auf scheinbar unwesentliche
Einzelheiten einzugehen. Besonders die Ausartungen, welche die
Metrik des Winkels im Komplexen aufweist, zwingen zu großer
Vorsicht beim Aussprechen von Sätzen, die komplex allgemein
gelten sollen, so daß deren Formulierung vielfach bei Beschrän-
kung auf das Reelle einfacher wäre. Trotzdem wurden die Be-
trachtungen komplex durchgeführt, nicht nur deshalb, weil die im
Problem und in den Methoden nicht begründete Beschränkung
auf das Reelle die Allgemeinheit der Ergebnisse unnötig beein-
trächtigen würde, sondern auch wegen des Auftretens einer be-
sonders einfachen, interessanten Klasse der hier behandelten Flä-
chen, die keinen Repräsentanten im Reellen hat.
Die notwendigen Bemerkungen über Ausartungen komplexer
Winkel sind Gegenstand des § 1, während § 2 von den Isogonal-
trajektorien eines Strahlenbüschels, den komplexen logarithmischen
Spiralen, handelt. Diese wurden nicht nur wegen der Analogie
mit dem räumlichen Problem in den Kreis der Betrachtungen ge-
zogen, sondern vor allem wegen ihres schon erwähnten Auftretens
als Krümmungslinien der Isogonalflächen und im Hinblick auf
ihre, von den Verhältnissen im Reellen in wesentlichen Punkten
abweichenden Eigenschaften. Um bei den späteren Betrachtungen
das wiederholte Erwähnen trivialer Ausnahmefälle der Isogonal-
flächen zu vermeiden, sind diese in § 3 vorweggenommen, womit
gleichzeitig notwendige einschränkende Voraussetzungen für alle
folgenden Überlegungen gewonnen werden. § 4 erledigt den Fall
des isogonal durchsetzten Parallelstrahlenbündels; die dabei auf-
tretenden Flächen sind die Böschungsflächen.
Damit sind die Fälle abgegrenzt, für welche die Betrachtun-
gen des mit § 5 beginnenden Hauptteiles nicht gelten. Diese han-
deln zunächst von den Krümmungslinien und suchen, als Erwei-
terung der weiter vorn erwähnten bekannten Sätze, Eigenschaften
der Krümmungslinien, die zur Charakterisierung der Isogonalflä-
chen notwendig und hinreichend sind. Nach Ergänzung dieser
Überlegungen durch die Untersuchung der Isogonaltrajektorien
der Krümmungslinien in § 6, bringt § 7 gemeinsame Erzeugungs-
der Kürze halber eine geometrische Ausdrucksweise beibehalten wurde, ist
sie nach dem eben Gesagten nie geometrisch-anschaulich zu verstehen, sondern
als bequemer Ausdruck für die entsprechenden analytischen Prozesse.