8 (A. 10)
Richard Baldus:
weisen der Isogonalflächen und Feststellungen über die Freiheit
in der Wahl ihrer Bestimmungsstücke. Es zeigt sich dabei, daß»
man einer Isogonalfläche eine mit geringen Einschränkungen will-
kürliche Kurve vorschreiben kann. Im Anschluß an eine dieser
Erzeugungsweisen werden in § 8 die rechtwinkligen Koordinaten
der Isogonalflächen als Funktionen zweier Parameter bestimmt,
und zwar derselben Parameter, die den differentialgeometrischen
Entwicklungen von § 5 an zugrunde gelegt sind. Nach der Fest-
stellung des Variabilitätsbereiches dieser Parameter und der Dis-
kussion einer damit eng verknüpften stationären Kurve werden
die allgemeinen Betrachtungen unterbrochen. Während die reellen
Isogonalflächen transzendent sind, können nach § 9 imaginäre
algebraische Isogonalflächen auftreten. Dabei lassen sich, im An-
schluß an entsprechende Überlegungen bei den logarithmischen
Spiralen, notwendige und hinreichende Bedingungen für diese
merkwürdigen Ausnahmefälle angeben. Die Sonderstellung, die
sie teilweise bei den folgenden Überlegungen einnehmen, erklärt
die Vorwegnahme dieser speziellen Fälle. In § 10 wird die Unter-
suchung der allgemeinen Flächen wieder aufgenommen. Ein all-
gemeines Prinzip gestattet es, bekannte Sätze über logarithmische
Spiralen zur Auffindung von Eigenschaften der Isogonalflächen
zu benützen; es liefert unter anderm die beiden Zentraflächen
und damit die Werte der Hauptkrümmungsradien. Bei speziellen
Isogonalflächen ist die eine Zentrafläche mit der Fläche identisch.
§11 handelt von dem Verhalten der Isogonalflächen bei linearen
Transformationen des Raumes. Während — einen Sonderfall
ausgenommen — jede Isogonalfläche durch eine unstetige Gruppe
von abzählbar unendlich vielen Kollineationen in sich übergeführt
wird, läßt sich zeigen, daß außer den Rotationsflächen der logarith-
mischen Spirale nur zwei spezielle Isogonalflächen durch eine
kontinuierliche, eingliedrige Gruppe von Kollineationen in sich
transformiert werden können. Die eingehendere Behandlung dieses
Sonderfalles wird auf einen späteren Paragraphen verschoben. In
§ 12 liefert das Prinzip der reziproken Radien die allgemeinsten
Flächen, welche alle Kreise durch zwei feste Punkte unter konstan-
tem Winkel schneiden.
Die allgemeinen Betrachtungen sind damit abgeschlossen und
es folgt die Erörterung zweier spezieller Fälle, die sich aus vorher-
gehenden Überlegungen naturgemäß ergeben und die bei der Un-
bestimmtheit des Problems erst eine wirkliche Vorstellung von
Richard Baldus:
weisen der Isogonalflächen und Feststellungen über die Freiheit
in der Wahl ihrer Bestimmungsstücke. Es zeigt sich dabei, daß»
man einer Isogonalfläche eine mit geringen Einschränkungen will-
kürliche Kurve vorschreiben kann. Im Anschluß an eine dieser
Erzeugungsweisen werden in § 8 die rechtwinkligen Koordinaten
der Isogonalflächen als Funktionen zweier Parameter bestimmt,
und zwar derselben Parameter, die den differentialgeometrischen
Entwicklungen von § 5 an zugrunde gelegt sind. Nach der Fest-
stellung des Variabilitätsbereiches dieser Parameter und der Dis-
kussion einer damit eng verknüpften stationären Kurve werden
die allgemeinen Betrachtungen unterbrochen. Während die reellen
Isogonalflächen transzendent sind, können nach § 9 imaginäre
algebraische Isogonalflächen auftreten. Dabei lassen sich, im An-
schluß an entsprechende Überlegungen bei den logarithmischen
Spiralen, notwendige und hinreichende Bedingungen für diese
merkwürdigen Ausnahmefälle angeben. Die Sonderstellung, die
sie teilweise bei den folgenden Überlegungen einnehmen, erklärt
die Vorwegnahme dieser speziellen Fälle. In § 10 wird die Unter-
suchung der allgemeinen Flächen wieder aufgenommen. Ein all-
gemeines Prinzip gestattet es, bekannte Sätze über logarithmische
Spiralen zur Auffindung von Eigenschaften der Isogonalflächen
zu benützen; es liefert unter anderm die beiden Zentraflächen
und damit die Werte der Hauptkrümmungsradien. Bei speziellen
Isogonalflächen ist die eine Zentrafläche mit der Fläche identisch.
§11 handelt von dem Verhalten der Isogonalflächen bei linearen
Transformationen des Raumes. Während — einen Sonderfall
ausgenommen — jede Isogonalfläche durch eine unstetige Gruppe
von abzählbar unendlich vielen Kollineationen in sich übergeführt
wird, läßt sich zeigen, daß außer den Rotationsflächen der logarith-
mischen Spirale nur zwei spezielle Isogonalflächen durch eine
kontinuierliche, eingliedrige Gruppe von Kollineationen in sich
transformiert werden können. Die eingehendere Behandlung dieses
Sonderfalles wird auf einen späteren Paragraphen verschoben. In
§ 12 liefert das Prinzip der reziproken Radien die allgemeinsten
Flächen, welche alle Kreise durch zwei feste Punkte unter konstan-
tem Winkel schneiden.
Die allgemeinen Betrachtungen sind damit abgeschlossen und
es folgt die Erörterung zweier spezieller Fälle, die sich aus vorher-
gehenden Überlegungen naturgemäß ergeben und die bei der Un-
bestimmtheit des Problems erst eine wirkliche Vorstellung von