Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 11
2. Nach dem Vorhergehenden ist auch die Frage nach dem
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene (wieder beide
eigentlich) geklärt. Zu jedem Büschel paralleler Ebenen gehört
umkehrbar eindeutig ein Parallelstrahlenbündel von Normalen der
Ebenen. Die isotropen Ebenen und nur diese haben isotrope Nor-
male und nur sie enthalten ihre Normalen. Wird, wie üblich, der
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene als der Winkel
zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die
Ebene definiert, dann treten irreguläre Winkel (Nr. 1, 2. Absatz)
zwischen (eigentlichen) Geraden und Ebenen nur in folgenden
Fällen auf:
III. Die Ebene ist anisotrop.
a) Die Gerade ist anisotrop, aber ihre senkrechte Projektion
in die Ebene ist isotrop. Der Winkel der Geraden und der Ebene
ist unbestimmt (II, b)1. Dabei ist aber nach II, a der Winke] zwi-
schen der Geraden und einer Normalen der Ebene 0.
b) Die Gerade ist isotrop und nicht parallel zur Ebene, der
Winkel ist isotrop (I,a).
c) Die Gerade ist isotrop und parallel zur Ebene, der Winkel
ist unbestimmt (II, b).
IV. Die Ebene ist isotrop.
a) Die Gerade ist nicht parallel zur Ebene, der Winkel ist
isotrop (I,a).
b) Die Gerade ist parallel zur Ebene, der Winkel ist un-
bestimmt (II, b).
3. Die analytische Geometrie der Ebene setzt eine reelle
Ebene mit komplexen Punkten als Koordinatenebene voraus, die
analytische Geometrie des Raumes den reellen Raum mit kom-
plexen Punkten als Koordinatenraum. Nach II, a und II, b kann
man in den isotropen Ebenen des Raumes keine analytische Geo-
metrie der Ebene mit Winkelbeziehungen treiben2, dagegen ohne
1 In diesem Falle bestimmt eine die Gerade treffende Normale der Ebene
mit der Geraden eine isotrope Ebene. Der Fall III, a tritt für jede Ebene e
dann ein, wenn man eine Gerade wählt, die in einer Ebene liegt, welche normal
zu s ist und einen der absoluten Punkte von s enthält.
2 Über einen dem Winkel analogen Begriff in isotropen Ebenen vgl.
(A. 10) 11
2. Nach dem Vorhergehenden ist auch die Frage nach dem
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene (wieder beide
eigentlich) geklärt. Zu jedem Büschel paralleler Ebenen gehört
umkehrbar eindeutig ein Parallelstrahlenbündel von Normalen der
Ebenen. Die isotropen Ebenen und nur diese haben isotrope Nor-
male und nur sie enthalten ihre Normalen. Wird, wie üblich, der
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene als der Winkel
zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die
Ebene definiert, dann treten irreguläre Winkel (Nr. 1, 2. Absatz)
zwischen (eigentlichen) Geraden und Ebenen nur in folgenden
Fällen auf:
III. Die Ebene ist anisotrop.
a) Die Gerade ist anisotrop, aber ihre senkrechte Projektion
in die Ebene ist isotrop. Der Winkel der Geraden und der Ebene
ist unbestimmt (II, b)1. Dabei ist aber nach II, a der Winke] zwi-
schen der Geraden und einer Normalen der Ebene 0.
b) Die Gerade ist isotrop und nicht parallel zur Ebene, der
Winkel ist isotrop (I,a).
c) Die Gerade ist isotrop und parallel zur Ebene, der Winkel
ist unbestimmt (II, b).
IV. Die Ebene ist isotrop.
a) Die Gerade ist nicht parallel zur Ebene, der Winkel ist
isotrop (I,a).
b) Die Gerade ist parallel zur Ebene, der Winkel ist un-
bestimmt (II, b).
3. Die analytische Geometrie der Ebene setzt eine reelle
Ebene mit komplexen Punkten als Koordinatenebene voraus, die
analytische Geometrie des Raumes den reellen Raum mit kom-
plexen Punkten als Koordinatenraum. Nach II, a und II, b kann
man in den isotropen Ebenen des Raumes keine analytische Geo-
metrie der Ebene mit Winkelbeziehungen treiben2, dagegen ohne
1 In diesem Falle bestimmt eine die Gerade treffende Normale der Ebene
mit der Geraden eine isotrope Ebene. Der Fall III, a tritt für jede Ebene e
dann ein, wenn man eine Gerade wählt, die in einer Ebene liegt, welche normal
zu s ist und einen der absoluten Punkte von s enthält.
2 Über einen dem Winkel analogen Begriff in isotropen Ebenen vgl.