Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 13
daß für sie und neben den unebenen isotropen Zylindern nur für
sie die Krümmungslinien isotrop sind (und zusammenfallen)1.
§ 2.
Isogonaltrajektorien eines Strahlenbüschels.
5. In engem Zusammenhänge mit späteren Überlegungen
stehen die Isogonaltrajektorien eines in einer anisotropen Ebene
liegenden Strahlenbüschels, dessen Scheitel im Endlichen liegt.
Soweit es sich bei den nun folgenden Bemerkungen über diese
nicht um länger bekannte Sätze handelt, finden sich diese Beweise
in der in Nr. 1 erwähnten Arbeit des Verfassers.
Unter der Isogonaltrajektorie eines solchen Strahlenbüschels
mit dem Scheitel O sei eine Kurve verstanden, welche alle Strahlen
des Büschels unter Winkeln mit konstantem (komplexem), be-
stimmtem Werte des Tangens schneidet2. Dabei sei grundsätzlich
vom Falle des Kreises, der vielfach eine Sonderstellung einnimmt,
abgesehen.
Diese Kurven sind im Reellen die logarithmischen Spiralen mit
dem Pol 0. Wählt man hier den reellen Punkt 0 als Scheitel und
eine reelle Gerade durch 0 als Achse eines Polarkoordinaten-
systems, dann wird die Gleichung der reellen logarithmischen Spi-
rale gewöhnlich in der Form
(3) r = <„ • e*”
angegeben, wobei der konstante Schnittwinkel arccotga ist; c0 und
a sind dabei reell.
6. Behält man in naheliegender Weise, wie es im folgenden
geschehen soll, die Bezeichnung »logarithmische Spirale« für die
Isogonaltrajektorie eines Strahlenbüschels auch im Komplexen
bei, dann ist (3) mit komplexem c0 und a (bezogen auf ein Polar-
1 Zur umfangreichen, über diese Flächen vorliegenden Literatur vgl.
L. Berwald, Über die Flächen mit einer einzigen Schar zueinander wind-
schiefer Minimalgeraden. Sitz.-Ber. d. K. Bayer. Akad. d. Wiss. 1913, S. 143
bis 211.
2 Es sollen also Winkel ausgeschlossen sein, wie sie in Nr. 1, Ib auf-
treten, oder in einer anisotropen Ebene die Winkel zwischen der uneigent-
lichen und den eigentlichen Geraden der Ebene.
(A. 10) 13
daß für sie und neben den unebenen isotropen Zylindern nur für
sie die Krümmungslinien isotrop sind (und zusammenfallen)1.
§ 2.
Isogonaltrajektorien eines Strahlenbüschels.
5. In engem Zusammenhänge mit späteren Überlegungen
stehen die Isogonaltrajektorien eines in einer anisotropen Ebene
liegenden Strahlenbüschels, dessen Scheitel im Endlichen liegt.
Soweit es sich bei den nun folgenden Bemerkungen über diese
nicht um länger bekannte Sätze handelt, finden sich diese Beweise
in der in Nr. 1 erwähnten Arbeit des Verfassers.
Unter der Isogonaltrajektorie eines solchen Strahlenbüschels
mit dem Scheitel O sei eine Kurve verstanden, welche alle Strahlen
des Büschels unter Winkeln mit konstantem (komplexem), be-
stimmtem Werte des Tangens schneidet2. Dabei sei grundsätzlich
vom Falle des Kreises, der vielfach eine Sonderstellung einnimmt,
abgesehen.
Diese Kurven sind im Reellen die logarithmischen Spiralen mit
dem Pol 0. Wählt man hier den reellen Punkt 0 als Scheitel und
eine reelle Gerade durch 0 als Achse eines Polarkoordinaten-
systems, dann wird die Gleichung der reellen logarithmischen Spi-
rale gewöhnlich in der Form
(3) r = <„ • e*”
angegeben, wobei der konstante Schnittwinkel arccotga ist; c0 und
a sind dabei reell.
6. Behält man in naheliegender Weise, wie es im folgenden
geschehen soll, die Bezeichnung »logarithmische Spirale« für die
Isogonaltrajektorie eines Strahlenbüschels auch im Komplexen
bei, dann ist (3) mit komplexem c0 und a (bezogen auf ein Polar-
1 Zur umfangreichen, über diese Flächen vorliegenden Literatur vgl.
L. Berwald, Über die Flächen mit einer einzigen Schar zueinander wind-
schiefer Minimalgeraden. Sitz.-Ber. d. K. Bayer. Akad. d. Wiss. 1913, S. 143
bis 211.
2 Es sollen also Winkel ausgeschlossen sein, wie sie in Nr. 1, Ib auf-
treten, oder in einer anisotropen Ebene die Winkel zwischen der uneigent-
lichen und den eigentlichen Geraden der Ebene.