14 (A. 10)
Richard Baldus:
koordinatensystem mit komplexem Pol und anisotroper Achse)
die Gleichung einer komplexen logarithmischen Spirale (in einer
anisotropen Ebene). Diese Gleichung hat aber den Nachteil, daß
sie bei imaginärem1 Schnittwinkel außer von der Spirale (mit vor-
gegebenem Schnittwinkel) immer auch noch von einer isotropen
Geraden durch 0 erfüllt wird, die als Isogonaltrajektorie isotropen
Schnitt Winkels auf gefaßt werden kann. Dies wird vermieden, wenn
man die Spirale auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit
dem komplexen Anfangspunkt 0 (und anisotropen Achsen) be-
zieht und ihre Gleichung in der Form schreibt:
a^’4-1 ai—1 __ -J
(4) [(x + iy)e2l'ni] 2 -c0[(x-iyje21^] 2 =0 /1j2 = 0,±l,±2,...
eine Gleichung, die nur von den Isogonaltrajektorien mit dem
Schnittwinkel arccotgt? erfüllt wird. Die Spirale geht durch den
Punkt x=c0, y = 0 hindurch.
Aus Nr. 1,1 und Nr. 5 Anm. 2 folgt, daß die Verbindungs-
gerade von 0 mit einem uneigentlichen Punkt Ux einen unbestimm-
ten Winkel oder den Winkel 0 mit jeder Geraden durch Uw ein-
schließt. Daher kann die nach Nr. 5 mit bestimmtem Tangenswerte
definierte Isogonaltrajektorie keinen uneigentlichen Punkt haben,
da für dessen Tangente das eben Gesagte gelten würde; d. h. die
Gl. der logarithmischen Spirale stellt nur im Endlichen eine Iso-
gonaltrajektorie dar.
Sucht man in der üblichen Weise durch Einführen homogener
Koordinaten die uneigentlichen Punkte der durch (4) dargestellten
Kurve, dann findet man, a = a1 + a2i gesetzt, als diese Punkte im
Falle
a2> — 1 den absoluten Punkt auf der Geraden x + iy = 0,
a2<+l den absoluten Punkt auf der Geraden x—iy = 0.
Demnach wird (4), je nach dem Werte von a2, durch einen der
absoluten Punkte oder gleichzeitig durch beide erfüllt. Diese
Punkte genügen zwar, wie erwähnt, der Gl. (4), nicht aber der
Bedingung der Isogonaltrajektorie2.
1 D. h. nicht-reellem.
2 Gl. (4) stellt demnach die logarithmische Spirale dar, während die Iso-
gonaltrajektorie im Sinne von Nr. 4 nur aus den eigentlichen Spiralpunkten
besteht. In analoger Weise sind z. B. in der Kreisgleichung die absoluten
Punkte auszuschließen, wenn man den Kreis als geometrischen Ort der Punkte
Richard Baldus:
koordinatensystem mit komplexem Pol und anisotroper Achse)
die Gleichung einer komplexen logarithmischen Spirale (in einer
anisotropen Ebene). Diese Gleichung hat aber den Nachteil, daß
sie bei imaginärem1 Schnittwinkel außer von der Spirale (mit vor-
gegebenem Schnittwinkel) immer auch noch von einer isotropen
Geraden durch 0 erfüllt wird, die als Isogonaltrajektorie isotropen
Schnitt Winkels auf gefaßt werden kann. Dies wird vermieden, wenn
man die Spirale auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit
dem komplexen Anfangspunkt 0 (und anisotropen Achsen) be-
zieht und ihre Gleichung in der Form schreibt:
a^’4-1 ai—1 __ -J
(4) [(x + iy)e2l'ni] 2 -c0[(x-iyje21^] 2 =0 /1j2 = 0,±l,±2,...
eine Gleichung, die nur von den Isogonaltrajektorien mit dem
Schnittwinkel arccotgt? erfüllt wird. Die Spirale geht durch den
Punkt x=c0, y = 0 hindurch.
Aus Nr. 1,1 und Nr. 5 Anm. 2 folgt, daß die Verbindungs-
gerade von 0 mit einem uneigentlichen Punkt Ux einen unbestimm-
ten Winkel oder den Winkel 0 mit jeder Geraden durch Uw ein-
schließt. Daher kann die nach Nr. 5 mit bestimmtem Tangenswerte
definierte Isogonaltrajektorie keinen uneigentlichen Punkt haben,
da für dessen Tangente das eben Gesagte gelten würde; d. h. die
Gl. der logarithmischen Spirale stellt nur im Endlichen eine Iso-
gonaltrajektorie dar.
Sucht man in der üblichen Weise durch Einführen homogener
Koordinaten die uneigentlichen Punkte der durch (4) dargestellten
Kurve, dann findet man, a = a1 + a2i gesetzt, als diese Punkte im
Falle
a2> — 1 den absoluten Punkt auf der Geraden x + iy = 0,
a2<+l den absoluten Punkt auf der Geraden x—iy = 0.
Demnach wird (4), je nach dem Werte von a2, durch einen der
absoluten Punkte oder gleichzeitig durch beide erfüllt. Diese
Punkte genügen zwar, wie erwähnt, der Gl. (4), nicht aber der
Bedingung der Isogonaltrajektorie2.
1 D. h. nicht-reellem.
2 Gl. (4) stellt demnach die logarithmische Spirale dar, während die Iso-
gonaltrajektorie im Sinne von Nr. 4 nur aus den eigentlichen Spiralpunkten
besteht. In analoger Weise sind z. B. in der Kreisgleichung die absoluten
Punkte auszuschließen, wenn man den Kreis als geometrischen Ort der Punkte