16 (A. 10)
Richard Baldus:
b) Hieran anschließend folgt aus Nr. 1,1, daß diese Spiralen
(als Isogonaltrajektorien) keinen eigentlichen Punkt außerhalb 0
haben, in dem die Tangentenrichtungen unbestimmt werden.
c) Ebenso ergibt sich, daß bei einer solchen Spirale kein von
O verschiedener eigentlicher Punkt eine isotrope Tangente hat.
d) Ist T ein eigentlicher Punkt einer anisotropen logarithmi-
schen Spirale (L), t seine Tangente, Ai ein weiterer eigentlicher
Punkt auf t, dann gibt es aus Aj an (L) mindestens noch eine
Tangente (nach dem Schluß von Nr. 7; bei transzendenten Spi-
ralen gibt es abzählbar unendlich viele weitere Tangenten aus
Ax). Die Berührungspunkte aller Tangenten aus At liegen auf
einem — eindeutig bestimmten — Kreise durch T und At.
Ein weiterer eigentlicher Punkt A2 auf t liefert einen neuen Kreis
(X2) durch T, der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist
der Pol der Spirale1, d. h. zu jeder anisotropen logarithmischen
Spirale gehört eindeutig ein Pol.
e) Ist einer logarithmischen Spirale der Pol 0, der anisotrope
Schnittwinkel a und damit a vorgegeben und außerdem ein eigent-
licher Punkt, der nicht auf einer isotropen Geraden durch 0 liegt,
dann legt man die X-Achse durch diesen Punkt; damit ist auch
c0, die Spiralengleichung (4) und die Spirale eindeutig bestimmt.
9. Die rechtwinkligen Koordinaten der eigentlichen Punkte
einer logarithmischen Spiralen (4) lassen sich durch einen Para-
meter t in der Form darstellen:
x = c0 • eat • cos t, y — c0 • eat • sin t ;
dabei ist t im Endlichen unbeschränkt variabel. Die Spirale geht
durch den Punkt x = c0 der X-Achse hindurch, und es bezeichnet
in der Gleichung
v • cosa + 1 = c0 • eat,
v die Bogenlänge der Spirale, wenn a wieder der durch cotga = a
bestimmte Schnittwinkel der Spirale ist. Wählt man v statt t als
Parameter, dann ist v im Endlichen unbeschränkt variabel, mit
Ausnahme des durch v ■ cos a + 1 = 0 bestimmten Wertes. In Nr. 16
wird gezeigt werden, daß für alle folgenden Betrachtungen nur
eigentliche Punkte logarithmischer Spiralen in Frage kommen.
1 Hieraus erkennt man gleichzeitig, daß der Pol einer reellen logarith-
mischen Spirale immer reell ist.
Richard Baldus:
b) Hieran anschließend folgt aus Nr. 1,1, daß diese Spiralen
(als Isogonaltrajektorien) keinen eigentlichen Punkt außerhalb 0
haben, in dem die Tangentenrichtungen unbestimmt werden.
c) Ebenso ergibt sich, daß bei einer solchen Spirale kein von
O verschiedener eigentlicher Punkt eine isotrope Tangente hat.
d) Ist T ein eigentlicher Punkt einer anisotropen logarithmi-
schen Spirale (L), t seine Tangente, Ai ein weiterer eigentlicher
Punkt auf t, dann gibt es aus Aj an (L) mindestens noch eine
Tangente (nach dem Schluß von Nr. 7; bei transzendenten Spi-
ralen gibt es abzählbar unendlich viele weitere Tangenten aus
Ax). Die Berührungspunkte aller Tangenten aus At liegen auf
einem — eindeutig bestimmten — Kreise durch T und At.
Ein weiterer eigentlicher Punkt A2 auf t liefert einen neuen Kreis
(X2) durch T, der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist
der Pol der Spirale1, d. h. zu jeder anisotropen logarithmischen
Spirale gehört eindeutig ein Pol.
e) Ist einer logarithmischen Spirale der Pol 0, der anisotrope
Schnittwinkel a und damit a vorgegeben und außerdem ein eigent-
licher Punkt, der nicht auf einer isotropen Geraden durch 0 liegt,
dann legt man die X-Achse durch diesen Punkt; damit ist auch
c0, die Spiralengleichung (4) und die Spirale eindeutig bestimmt.
9. Die rechtwinkligen Koordinaten der eigentlichen Punkte
einer logarithmischen Spiralen (4) lassen sich durch einen Para-
meter t in der Form darstellen:
x = c0 • eat • cos t, y — c0 • eat • sin t ;
dabei ist t im Endlichen unbeschränkt variabel. Die Spirale geht
durch den Punkt x = c0 der X-Achse hindurch, und es bezeichnet
in der Gleichung
v • cosa + 1 = c0 • eat,
v die Bogenlänge der Spirale, wenn a wieder der durch cotga = a
bestimmte Schnittwinkel der Spirale ist. Wählt man v statt t als
Parameter, dann ist v im Endlichen unbeschränkt variabel, mit
Ausnahme des durch v ■ cos a + 1 = 0 bestimmten Wertes. In Nr. 16
wird gezeigt werden, daß für alle folgenden Betrachtungen nur
eigentliche Punkte logarithmischer Spiralen in Frage kommen.
1 Hieraus erkennt man gleichzeitig, daß der Pol einer reellen logarith-
mischen Spirale immer reell ist.