Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 31
Eigenschaft, daß in jedem Flächenpunkt A die Tangente tx von (Lx)
mit dem Strahl r = OA einen gegebenen festen, anisotropen, von tt/2
und 0 verschiedenen Winkel ax einschließt1, entsprechend die Tan-
gente t2 von (L2) einen anisotropen, von n/2 und 0 verschiedenen
Winkel a22. Die Kurven (Lt) und (L2) sind konische Schrauben-
linien3 auf Kegeln mit der Spitze O.
Das Dreikant r, t^t2 hat zwei feste Winkel, (Mi) und (r, Z2),
während sich der Winkel (^, t2) mit A ändert und nach Nr. 1, I
ebenfalls anisotrop ist, wie auch die Ebenen des Dreikantes nach
Nr. 1, II anisotrop sind.
26. Aus den Bestimmungsstücken dieses Dreikantes ist klar,
daß [Fj dann und nur dann eine Fläche [P] mit dem Pol 0 ist,
wenn der Winkel (^, Z2) für die ganze Fläche derselbe bleibt4. Da
hier nach Nr. 20 die logarithmischen Krümmungslinien zu den
Kurven konstanten Schnittwinkels der Nr. 25 gehören, folgt:
Die anisotropen Isogonaltrajektorien der Krümmungslinien der
Flächen [P] sind konische Schraubenlinien auf Kegeln mit der
Spitze 0.
In Nr. 64 wird bewiesen werden, daß diese Kurven immer
unebene Raumkurven sind, einen Fall ausgenommen, in dem spe-
zielle Isogonaltrajektorien eben sind.
Ist a, wie immer, der konstante Schnittwinkel der Fläche [P],
p der Schnittwinkel einer dieser Isogonaltrajektorien mit den Er-
zeugenden ihres Kegels, 2 der Winkel, den sie mit den ebenen
Krümmungslinien einschließt, dann sind die Winkel a, 2,/z aniso-
trop und es ist, wie man leicht berechnet5,
1 Infolge des Ausschlusses des Winkels 0 kann nach Nr. 1, IIa die Ebene
(r, nicht isotrop sein.
2 Es gibt je zwei Scharen von Kurven (Lj) und (L2), aus denen hier je
eine herausgegriffen ist.
3 In der Ausdrucksweise von E. Cesaro. Vgl. dagegen G. Scheffers,
Besondere transzendente Kurven. Enz. d. math. Wiss. Bd. III, D 4, S. 253,
Anm. 186.
4 Ist hier ar=a (wobei a wieder den konstanten Schnittwinkel von [P]
bezeichnet), dann fallen die in Nr. 25 erwähnten zwei Systeme von Kurven
(.LJ zusammen, entsprechend bei a2=a die zwei Systeme von Kurven (L2).
5 Indem man z. B. ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem
Anfangspunkt in dem betreffenden Flächenpunkt einführt, dessen X-Achse
die Tangente der Spirale, dessen Z-Achse die Flächennormale ist und bei dem
der Pol der Fläche in der XZ-Ebene liegt. Die Ebene der Spirale ist nach
Nr. 20 anisotrop.
(A. 10) 31
Eigenschaft, daß in jedem Flächenpunkt A die Tangente tx von (Lx)
mit dem Strahl r = OA einen gegebenen festen, anisotropen, von tt/2
und 0 verschiedenen Winkel ax einschließt1, entsprechend die Tan-
gente t2 von (L2) einen anisotropen, von n/2 und 0 verschiedenen
Winkel a22. Die Kurven (Lt) und (L2) sind konische Schrauben-
linien3 auf Kegeln mit der Spitze O.
Das Dreikant r, t^t2 hat zwei feste Winkel, (Mi) und (r, Z2),
während sich der Winkel (^, t2) mit A ändert und nach Nr. 1, I
ebenfalls anisotrop ist, wie auch die Ebenen des Dreikantes nach
Nr. 1, II anisotrop sind.
26. Aus den Bestimmungsstücken dieses Dreikantes ist klar,
daß [Fj dann und nur dann eine Fläche [P] mit dem Pol 0 ist,
wenn der Winkel (^, Z2) für die ganze Fläche derselbe bleibt4. Da
hier nach Nr. 20 die logarithmischen Krümmungslinien zu den
Kurven konstanten Schnittwinkels der Nr. 25 gehören, folgt:
Die anisotropen Isogonaltrajektorien der Krümmungslinien der
Flächen [P] sind konische Schraubenlinien auf Kegeln mit der
Spitze 0.
In Nr. 64 wird bewiesen werden, daß diese Kurven immer
unebene Raumkurven sind, einen Fall ausgenommen, in dem spe-
zielle Isogonaltrajektorien eben sind.
Ist a, wie immer, der konstante Schnittwinkel der Fläche [P],
p der Schnittwinkel einer dieser Isogonaltrajektorien mit den Er-
zeugenden ihres Kegels, 2 der Winkel, den sie mit den ebenen
Krümmungslinien einschließt, dann sind die Winkel a, 2,/z aniso-
trop und es ist, wie man leicht berechnet5,
1 Infolge des Ausschlusses des Winkels 0 kann nach Nr. 1, IIa die Ebene
(r, nicht isotrop sein.
2 Es gibt je zwei Scharen von Kurven (Lj) und (L2), aus denen hier je
eine herausgegriffen ist.
3 In der Ausdrucksweise von E. Cesaro. Vgl. dagegen G. Scheffers,
Besondere transzendente Kurven. Enz. d. math. Wiss. Bd. III, D 4, S. 253,
Anm. 186.
4 Ist hier ar=a (wobei a wieder den konstanten Schnittwinkel von [P]
bezeichnet), dann fallen die in Nr. 25 erwähnten zwei Systeme von Kurven
(.LJ zusammen, entsprechend bei a2=a die zwei Systeme von Kurven (L2).
5 Indem man z. B. ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem
Anfangspunkt in dem betreffenden Flächenpunkt einführt, dessen X-Achse
die Tangente der Spirale, dessen Z-Achse die Flächennormale ist und bei dem
der Pol der Fläche in der XZ-Ebene liegt. Die Ebene der Spirale ist nach
Nr. 20 anisotrop.