Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 33
Durch Einsetzen der soeben angegebenen Werte b, c, d, e erkennt
man die Richtigkeit der Gleichung
1 - b2 — c2 — d2 + 2 bcd
---- _
1 - d2 1
der zufolge für b + 0, c + 0, d + 1 die Konstanz von dreien der
Größen b, c,d,e für die ganze Fläche die Konstanz der vierten
Größe nach sich zieht.
Bezeichnet Sa ein System konischer Schraubenlinien (Ca), die
auf Kegeln aus dem Koordinatenanfangspunkte 0 liegen, unter
•sich gleichen, von 0 und ^r/2 verschiedenen Steigwinkel haben und
eine Fläche einfach überdecken, dann erhält man nun drei Sätze;
zunächst:
Enthält eine Fläche [PJ zwei Systeme Sa, deren Kurven sich
unter konstantem Winkel schneiden1, dann liegt eine Fläche [P] mit
dem Pol O vor2.
Speziell würde hieraus folgen, daß die Eigenschaften der Krüm-
mungslinien, die der Satz von Nr. 20 ausspricht, eine Fläche als
Eläche [P] charakterisieren. An Stelle dieser Aussage treten in Nr.
21 und 22 die weniger voraussetzenden Umkehrungssätze.
Der zweite Satz lautet:
Bestimmt man auf einer Fläche [P] zwei Systeme Sa, dann
durchsetzen diese einander isogonal.
Und drittens:
Die anisotropen Isogonaltrajektorien eines Systems Sa auf einer
Fläche [P] bilden selbst wieder ein solches System3.
28. Der erste der drei Sätze von Nr. 27 und die Umkehrungs-
sätze von Nr. 21 und 22 gestatten bei einer vorgegebenen Fläche
zu entscheiden, ob sie in bezug auf einen gegebenen Punkt als
1 Der dann nach Nr. 1, I von selbst anisotrop ist.
2 Würde man die sich auf den absoluten Kegelschnitt beziehenden Ein-
schränkungen nicht machen, dann würde nach Nr. 1, la jede Fläche mit
anisotropen Tangentialebenen infolge ihrer isotropen Kurven die Vorbedin-
gungen dieses Satzes erfüllen. Andererseits würden die Schnittkurven einer
Fläche mit den isotropen Ebenen aus einem Punkt 0 nach Nr. 1, IIa den
konstanten Schnittwinkel 0 auf den sie aus O projizierenden isotropen Kegeln
{hier Ebenen) bestimmen.
3 Die beiden Systeme können verschiedene Schnittwinkel haben.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. KL A. 1921. 10. Abh.
3
(A. 10) 33
Durch Einsetzen der soeben angegebenen Werte b, c, d, e erkennt
man die Richtigkeit der Gleichung
1 - b2 — c2 — d2 + 2 bcd
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1 - d2 1
der zufolge für b + 0, c + 0, d + 1 die Konstanz von dreien der
Größen b, c,d,e für die ganze Fläche die Konstanz der vierten
Größe nach sich zieht.
Bezeichnet Sa ein System konischer Schraubenlinien (Ca), die
auf Kegeln aus dem Koordinatenanfangspunkte 0 liegen, unter
•sich gleichen, von 0 und ^r/2 verschiedenen Steigwinkel haben und
eine Fläche einfach überdecken, dann erhält man nun drei Sätze;
zunächst:
Enthält eine Fläche [PJ zwei Systeme Sa, deren Kurven sich
unter konstantem Winkel schneiden1, dann liegt eine Fläche [P] mit
dem Pol O vor2.
Speziell würde hieraus folgen, daß die Eigenschaften der Krüm-
mungslinien, die der Satz von Nr. 20 ausspricht, eine Fläche als
Eläche [P] charakterisieren. An Stelle dieser Aussage treten in Nr.
21 und 22 die weniger voraussetzenden Umkehrungssätze.
Der zweite Satz lautet:
Bestimmt man auf einer Fläche [P] zwei Systeme Sa, dann
durchsetzen diese einander isogonal.
Und drittens:
Die anisotropen Isogonaltrajektorien eines Systems Sa auf einer
Fläche [P] bilden selbst wieder ein solches System3.
28. Der erste der drei Sätze von Nr. 27 und die Umkehrungs-
sätze von Nr. 21 und 22 gestatten bei einer vorgegebenen Fläche
zu entscheiden, ob sie in bezug auf einen gegebenen Punkt als
1 Der dann nach Nr. 1, I von selbst anisotrop ist.
2 Würde man die sich auf den absoluten Kegelschnitt beziehenden Ein-
schränkungen nicht machen, dann würde nach Nr. 1, la jede Fläche mit
anisotropen Tangentialebenen infolge ihrer isotropen Kurven die Vorbedin-
gungen dieses Satzes erfüllen. Andererseits würden die Schnittkurven einer
Fläche mit den isotropen Ebenen aus einem Punkt 0 nach Nr. 1, IIa den
konstanten Schnittwinkel 0 auf den sie aus O projizierenden isotropen Kegeln
{hier Ebenen) bestimmen.
3 Die beiden Systeme können verschiedene Schnittwinkel haben.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. KL A. 1921. 10. Abh.
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