Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
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winkel und dem Pol O dadurch erzeugen, daß die anisotrope Ebene
der Spirale ohne zu gleiten auf .einem Kegel [K] mit der Spitze 0
rollt*
Die Flächen [P] gehören demnach zu den allgemeinen Gesims-
flächen. Jeder Punkt der Spirale beschreibt eine sphärische Krüm-
mungslinie, die Erzeugenden des Kegels [K] sind die Charakteri-
stiken der Ebenenschar (Momentanachsen der Bewegung).
30. Die Frage, ob umgekehrt auch jede in der soeben an-
gegebenen Weise erzeugte Fläche eine Fläche [P] ist, fällt nach
dem Satze von Nr. 20, der zufolge Nr. 27 auch zugleich hinreichende
Bedingungen für eine Fläche [P] enthält, mit der Frage zusammen,
ob bei jeder solchen Erzeugung die Voraussetzungen dieses Satzes
erfüllt sind, wie sie in den Ungl. (7) enthalten sind und zu Be-
ginn von Nr. 18 ausgesprochen wurden. Wenn eine anisotrope
Ebene auf einem Kegel rollt, ist a) erfüllt, wegen des anisotropen
Schnittwinkels der Spirale gilt c) und eine logarithmische Spirale
ist im Endlichen regulär, wonach auch d) zutrifft. Da nach Nr. 8,a
eine solche Spirale die von ihrem Pol in ihrer Ebene ausgehenden
isotropen Geraden außerhalb des Poles im Endlichen nicht trifft,
gilt dasselbe auch für jede in dieser Weise erzeugte Fläche in be-
zug auf den isotropen Kegel aus 0, womit auch e) befriedigt ist.
Es muß demnach nur noch die Voraussetzung b) in der Umkeh-
rung des oben angegebenen Satzes ausgesprochen werden:
Rollt — komplex gesprochen — eine anisotrope Ebene e ohne zu
gleiten auf einem Kegel [ä] mit der Spitze 0, dann beschreibt eine
in e liegende anisotrope logarithmische Spirale mit dem Pol 0 eine
Fläche [P] mit dem Pol 0, soweit die Bahnkurven der Spiralen-
punkte Kurven (C^ sind.
Die hier ausgeschlossenen singulären Punkte der Bahnkurven
werden in Nr. 40-42 eingehender behandelt werden.
31. Zunächst kann man einer Fläche [P] den (eigentlichen) Pol
0, den Schnittwinkel a (F1 u. 2) und auf einer anisotropen Kugel
mit dem Zentrum 0 irgendeine Kurve (K') vorschreiben., die eine Kurve
(C.)
1 Daß die Tangentialebenen des Kegels [A] einer Fläche [P], das sind die
Ebenen ihrer logarithmischen Spiralen, nicht isotrop sein können, wurde in
Nr. 20 gezeigt. — Der Ausdruck »eine anisotrope Ebene rollt« ist hier und
im folgenden dahin zu verstehen, daß die Ebene dabei immer anisotrop bleibt.
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winkel und dem Pol O dadurch erzeugen, daß die anisotrope Ebene
der Spirale ohne zu gleiten auf .einem Kegel [K] mit der Spitze 0
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Die Flächen [P] gehören demnach zu den allgemeinen Gesims-
flächen. Jeder Punkt der Spirale beschreibt eine sphärische Krüm-
mungslinie, die Erzeugenden des Kegels [K] sind die Charakteri-
stiken der Ebenenschar (Momentanachsen der Bewegung).
30. Die Frage, ob umgekehrt auch jede in der soeben an-
gegebenen Weise erzeugte Fläche eine Fläche [P] ist, fällt nach
dem Satze von Nr. 20, der zufolge Nr. 27 auch zugleich hinreichende
Bedingungen für eine Fläche [P] enthält, mit der Frage zusammen,
ob bei jeder solchen Erzeugung die Voraussetzungen dieses Satzes
erfüllt sind, wie sie in den Ungl. (7) enthalten sind und zu Be-
ginn von Nr. 18 ausgesprochen wurden. Wenn eine anisotrope
Ebene auf einem Kegel rollt, ist a) erfüllt, wegen des anisotropen
Schnittwinkels der Spirale gilt c) und eine logarithmische Spirale
ist im Endlichen regulär, wonach auch d) zutrifft. Da nach Nr. 8,a
eine solche Spirale die von ihrem Pol in ihrer Ebene ausgehenden
isotropen Geraden außerhalb des Poles im Endlichen nicht trifft,
gilt dasselbe auch für jede in dieser Weise erzeugte Fläche in be-
zug auf den isotropen Kegel aus 0, womit auch e) befriedigt ist.
Es muß demnach nur noch die Voraussetzung b) in der Umkeh-
rung des oben angegebenen Satzes ausgesprochen werden:
Rollt — komplex gesprochen — eine anisotrope Ebene e ohne zu
gleiten auf einem Kegel [ä] mit der Spitze 0, dann beschreibt eine
in e liegende anisotrope logarithmische Spirale mit dem Pol 0 eine
Fläche [P] mit dem Pol 0, soweit die Bahnkurven der Spiralen-
punkte Kurven (C^ sind.
Die hier ausgeschlossenen singulären Punkte der Bahnkurven
werden in Nr. 40-42 eingehender behandelt werden.
31. Zunächst kann man einer Fläche [P] den (eigentlichen) Pol
0, den Schnittwinkel a (F1 u. 2) und auf einer anisotropen Kugel
mit dem Zentrum 0 irgendeine Kurve (K') vorschreiben., die eine Kurve
(C.)
1 Daß die Tangentialebenen des Kegels [A] einer Fläche [P], das sind die
Ebenen ihrer logarithmischen Spiralen, nicht isotrop sein können, wurde in
Nr. 20 gezeigt. — Der Ausdruck »eine anisotrope Ebene rollt« ist hier und
im folgenden dahin zu verstehen, daß die Ebene dabei immer anisotrop bleibt.
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