Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 37
Da die Flächen [P] ein System kongruenter logarithmischer
Spiralen enthalten, kann man die eben gemachte Bemerkung für
sie in der folgenden Weise verwenden: In jeder (anisotropen) Tan-
gentialebene e von [TT] liege die eine der beiden Spiralen (Jffi)
mit dem Pol 0 vor, die mit dem gegebenen Schnittwinkel a durch
den einen Einheitspunkt der Berührungserzeugenden geht1. Da-
bei muß vorausgesetzt werden, daß die Berührungserzeugende
anisotrop ist. Nur soweit dies erfüllt ist, gelten die in dieser Nr.
folgenden Betrachtungen, eine Einschränkung, von der noch in
Nr. 36 die Rede sein wird. Die Erzeugende e0 der Anfangstangen-
tialebene e0 bildet, mit abgerollt2, mit der Erzeugenden e der Tan-
gentialebene e einen endlichen komplexen Winkel ß in £, dessen
analytischer Ausdruck in Nr. 37 folgt. Multipliziert man nun die
Radienvektoren der Spirale (M£) mit dem Faktor k = l/x, dann
erhält man eine neue Spirale (L£), und dies ist die Lage, die (Lo)
beim Abrollen in e annimmt. Daher erzeugen die Spiralen (Le) die
gesuchte Fläche [P].
33. Mit Hilfe des am Schlüsse von Nr. 21 abgeleiteten Satzes
läßt sich beweisen:
Man hann einer Fläche [P] außer dem Pol 0 und dem Schnitt-
winkel a noch eine beliebige Kurve (CQ vorschreiben, die keinen Punkt
mit dem isotropen Kegel aus 0 gemeinsam hat.
Denn liegt eine solche Kurve (C) auf einer Fläche [P], ist P
ein Punkt der Kurve, c seine Kurventangente, r der Radiusvektor
OP, £ die Ebene der durch P gehenden logarithmischen Krüm-
mungslinie der Fläche und l die Tangente dieser Krümmungs-
linie in P, dann ist das Dreikant r, l, c bei l rechtwinklig und die
Winkel (c,Z) = 2 und (c,r)=/z sind anisotrop. Nach Nr. 26 ist
(24) cos p, — cos a • cos 2 ,
wobei 2 gleichzeitig der Winkel ist, unter dem (C) die Ebene £
schneidet.
Ist nun eine beliebige Kurve (A), die eine Kurve (CQ ist und
den isotropen Kegel aus dem Anfangspunkt 0 nicht trifft, durch
die Gleichungen
1 Die hier auftretenden Funktionen müssen eindeutig gemacht werden.
2 wieder, nach Nr. 30, komplex gesprochen.
(A. 10) 37
Da die Flächen [P] ein System kongruenter logarithmischer
Spiralen enthalten, kann man die eben gemachte Bemerkung für
sie in der folgenden Weise verwenden: In jeder (anisotropen) Tan-
gentialebene e von [TT] liege die eine der beiden Spiralen (Jffi)
mit dem Pol 0 vor, die mit dem gegebenen Schnittwinkel a durch
den einen Einheitspunkt der Berührungserzeugenden geht1. Da-
bei muß vorausgesetzt werden, daß die Berührungserzeugende
anisotrop ist. Nur soweit dies erfüllt ist, gelten die in dieser Nr.
folgenden Betrachtungen, eine Einschränkung, von der noch in
Nr. 36 die Rede sein wird. Die Erzeugende e0 der Anfangstangen-
tialebene e0 bildet, mit abgerollt2, mit der Erzeugenden e der Tan-
gentialebene e einen endlichen komplexen Winkel ß in £, dessen
analytischer Ausdruck in Nr. 37 folgt. Multipliziert man nun die
Radienvektoren der Spirale (M£) mit dem Faktor k = l/x, dann
erhält man eine neue Spirale (L£), und dies ist die Lage, die (Lo)
beim Abrollen in e annimmt. Daher erzeugen die Spiralen (Le) die
gesuchte Fläche [P].
33. Mit Hilfe des am Schlüsse von Nr. 21 abgeleiteten Satzes
läßt sich beweisen:
Man hann einer Fläche [P] außer dem Pol 0 und dem Schnitt-
winkel a noch eine beliebige Kurve (CQ vorschreiben, die keinen Punkt
mit dem isotropen Kegel aus 0 gemeinsam hat.
Denn liegt eine solche Kurve (C) auf einer Fläche [P], ist P
ein Punkt der Kurve, c seine Kurventangente, r der Radiusvektor
OP, £ die Ebene der durch P gehenden logarithmischen Krüm-
mungslinie der Fläche und l die Tangente dieser Krümmungs-
linie in P, dann ist das Dreikant r, l, c bei l rechtwinklig und die
Winkel (c,Z) = 2 und (c,r)=/z sind anisotrop. Nach Nr. 26 ist
(24) cos p, — cos a • cos 2 ,
wobei 2 gleichzeitig der Winkel ist, unter dem (C) die Ebene £
schneidet.
Ist nun eine beliebige Kurve (A), die eine Kurve (CQ ist und
den isotropen Kegel aus dem Anfangspunkt 0 nicht trifft, durch
die Gleichungen
1 Die hier auftretenden Funktionen müssen eindeutig gemacht werden.
2 wieder, nach Nr. 30, komplex gesprochen.