Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

46 (A. 10)

Richard Baldus:

d. h. entweder ist
=0
und damit die Ebene (u^ der Schar (38) singulär, oder der Punkt
der Orthogonaltrajektorie liegt gleichzeitig auf der Charakteri-
stik der nicht singulären Ebene
Liegt umgekehrt ein Punkt U± der Orthogonaltrajektorie mit
anisotroper Tangente gleichzeitig auf der Charakteristik der nicht
singulären, anisotropen Ebene dann ist er singulärer Punkt
der Orthogonaltrajektorie. Zum Beweise dieser Tatsache muß
noch die Bedingung der Orthogonalität herangezogen werden,
während die bisher allein verwendete Gl. (39) nur ausspricht, daß
eine Trajektorie der Ebenenschar vorliegt. Aus der Orthogonali-
tät folgt
02)
nebst den beiden hieraus durch Vertauschung von x mit y und z
entstehenden Gleichungen. Da diese Gleichungen für einen singu-
lären Punkt U± der Orthogonaltrajektorie ihren Sinn verlieren, sei
der Beweis indirekt geführt. Ist der auf der Charakteristik der
Ebene (nt) liegende Punkt Ut ein regulärer Punkt, dann bestehen
zunächst für ihn die Gl. (39) und (41), und vermöge (40) erfüllt
er die Gleichung
W] = o ,
aus der man durch Einsetzen der Werte für <px(u), welche die
Gl. (42) liefert,

= 0
erhält. Diese Gleichung kann aber nicht erfüllt sein, da die
Ebene (wt) ebenso wie die Tangente in Ut anisotrop ist und nicht
<Px(ui) = <Py(ui) = 9\(^i) = 0 se^n kann, wenn es sich überhaupt
noch um eine definierte Ebene der Schar (38) handeln soll. Folg-
lich ist Ui singulärer Punkt der Orthogonaltrajektorie.
Damit ist gezeigt, daß immer und nur die singulären Tangen-
tialebenen des Kegels [A] und die Schnittpunkte der logarithmischen