54 (A. 10)
Richard Baldus:
Werden - komplex gesprochen - in der Ebene die aus dem
Pol auf eine anisotrope logarithmische Spirale auftreffenden Strah-
len unter einem festen, anisotropen Winkel ß mit der Kurvennor-
malen reflektiert, so umhüllen diese zurückgeworfenen Strahlen
eine der ursprünglichen kongruente Spirale mit demselben Pole.
Auch hier läßt sich der Faktor der zugehörigen Streckung leicht
berechnen. Da nach Nr. 20 die Normalen der Flächen [P] in den
Spiralenebenen liegen, liefert dies den Satz:
Werden die aus dem Pol 0 auf eine Fläche [P] auftreffenden
Strahlen an ihr unter einem festen, anisotropen Winkel ß mit der
Flächennormalen reflektiert, dann sind diese zurückgeworfenen Strah-
len Tangenten einer neuen Fläche [P]„, die aus [P] durch eine
Streckung von 0 aus mit dem Faktor cos(a+/?)/sina • e(ß~nl2')°otsa
her vor geht1.
47. Läßt man im zweiten Falle von Nr. 46 für die Spirale
ß = 0 werden, dann entsteht als abgeleitete Spirale die Evolute
der ursprünglichen. Ist a der Schnittwinkel der Spirale und, wie
immer, a = cotga, dann ist die Evolute mit der ursprünglichen
Kurve identisch im Falle
(52) -= ‘Ikn 4- k = 0,±1,±2,... .
d 2
Allgemeiner gilt: Ist die Evolute der Spirale (L),
die Evolute von usw., dann ist (Lf)v mit (L) identisch, wenn
lna/a ein reelles, rationales Vielfaches von n ist, ln«/a = 7r*r;
dabei ist v bestimmt durch
2r —1 k
4 v
wobei k und v relativ prime, ganze Zahlen sind.
48. Die Normale in einem Punkt A einer Fläche [P] liegt
nach Nr. 20 in der Ebene der durch diesen Punkt gehenden loga-
rithmischen Krümmungslinie. Dies gibt mit den Betrachtungen
von Nr. 47:
1 Optisch tritt dieser Fall dann ein, wenn eine reelle Fläche [P] zwei
Medien von verschiedenem Brechungsindex trennt. Wählt man speziell
ß = 7t/2— a, den Fall der normalen Reflexion an der trennenden Fläche, dann
ist der Faktor der Streckung 2 cosa-e-a’cot?«
Richard Baldus:
Werden - komplex gesprochen - in der Ebene die aus dem
Pol auf eine anisotrope logarithmische Spirale auftreffenden Strah-
len unter einem festen, anisotropen Winkel ß mit der Kurvennor-
malen reflektiert, so umhüllen diese zurückgeworfenen Strahlen
eine der ursprünglichen kongruente Spirale mit demselben Pole.
Auch hier läßt sich der Faktor der zugehörigen Streckung leicht
berechnen. Da nach Nr. 20 die Normalen der Flächen [P] in den
Spiralenebenen liegen, liefert dies den Satz:
Werden die aus dem Pol 0 auf eine Fläche [P] auftreffenden
Strahlen an ihr unter einem festen, anisotropen Winkel ß mit der
Flächennormalen reflektiert, dann sind diese zurückgeworfenen Strah-
len Tangenten einer neuen Fläche [P]„, die aus [P] durch eine
Streckung von 0 aus mit dem Faktor cos(a+/?)/sina • e(ß~nl2')°otsa
her vor geht1.
47. Läßt man im zweiten Falle von Nr. 46 für die Spirale
ß = 0 werden, dann entsteht als abgeleitete Spirale die Evolute
der ursprünglichen. Ist a der Schnittwinkel der Spirale und, wie
immer, a = cotga, dann ist die Evolute mit der ursprünglichen
Kurve identisch im Falle
(52) -= ‘Ikn 4- k = 0,±1,±2,... .
d 2
Allgemeiner gilt: Ist die Evolute der Spirale (L),
die Evolute von usw., dann ist (Lf)v mit (L) identisch, wenn
lna/a ein reelles, rationales Vielfaches von n ist, ln«/a = 7r*r;
dabei ist v bestimmt durch
2r —1 k
4 v
wobei k und v relativ prime, ganze Zahlen sind.
48. Die Normale in einem Punkt A einer Fläche [P] liegt
nach Nr. 20 in der Ebene der durch diesen Punkt gehenden loga-
rithmischen Krümmungslinie. Dies gibt mit den Betrachtungen
von Nr. 47:
1 Optisch tritt dieser Fall dann ein, wenn eine reelle Fläche [P] zwei
Medien von verschiedenem Brechungsindex trennt. Wählt man speziell
ß = 7t/2— a, den Fall der normalen Reflexion an der trennenden Fläche, dann
ist der Faktor der Streckung 2 cosa-e-a’cot?«