64 (A. 10)
Richard Baldus:
Die Krümmungslinien gehen bei der Transformation durch
reziproke Radien wieder in Krümmungslinien über, demnach sind
die Krümmungslinien beider Systeme der Flächen [(?] sphärisch.
Die Mittelpunkte der Kugeln der einen Schar (der die sphärischen
Krümmungslinien von [P] entsprechen) liegen auf der Geraden
MN. Ist, diese Gerade als X-Achse und M als Nullpunkt voraus-
gesetzt, n die rr-Koordinate von 2V, dann hat dabei die Kugel, deren
Mittelpunkt auf MN die ^-Koordinate b hat, den Radius r, der be-
stimmt ist durch r* = b(b — tz). Die Kugeln der zweiten Schar von
Krümmungslinien gehen alle durch M und N. Auf jeder dieser
letzten Kugeln ist die zugehörige Krümmungslinie eine Isogonal-
trajektorie des Büschels von (Klein-) Kreisen, das aus der Kugel
von dem Ebenenbüschel mit der Achse MN ausgeschnitten wird.
Dies gibt, mit Nr.29 zusammengehalten:
Man erhält die allgemeinste Fläche, welche von sämtlichen Krei-
sen durch zwei feste, eigentliche Punkte M, N, die nicht auf derselben
isotropen Geraden liegen, unter einem konstanten Winkel a — der
VI und F2 erfüllt — geschnitten wird, in der folgenden Weise: In
der mittelsenkrechten Ebene zu MN wählt man eine beliebige Kurve
(Ca) Nr. 18} und bestimmt sämtliche Kugeln, welche durch M
und N hindurchgehen und ihren Mittelpunkt auf haben. Dann
sucht man eine eigentliche, reguläre Orthogonaltrajektorie (K} dieses
Systems von Kugeln und legt durch jeden Punkt von (X) auf der zu-
gehörigen Kugel diejenige Kurve (A), welche die vom Ebenenbüschel
mit der Achse MN aus der Kugel ausgeschnittenen Kreise unter dem
konstanten Winkel a trifft. Die Gesamtheit dieser Kurven (Ä} erzeugt
die gesuchte Fläche.
§ 13.
Die Flächen [P] mit anisotroper gerader Leitlinie.
56. Nach Nr. 33 kann man jede auf einer Fläche [P] liegende
Kurve (C'a) als Leitkurve für die Erzeugung der Fläche verwenden.
Im Anschlüsse hieran mögen als einfachstes Beispiel die Flächen [P]
betrachtet werden, welche eine anisotrope Gerade g enthalten1.
1 Der spezielle Fall der Flächen [P] mit isotropen Geraden soll hier nicht
behandelt werden. Beispiele solcher Flächen sind die drei Flächenkvon Nr. 45
(Schnitt mit der Ebene z = 0) sowie die Drehflächen anisotroper Achse von
Nr.3|5.
Richard Baldus:
Die Krümmungslinien gehen bei der Transformation durch
reziproke Radien wieder in Krümmungslinien über, demnach sind
die Krümmungslinien beider Systeme der Flächen [(?] sphärisch.
Die Mittelpunkte der Kugeln der einen Schar (der die sphärischen
Krümmungslinien von [P] entsprechen) liegen auf der Geraden
MN. Ist, diese Gerade als X-Achse und M als Nullpunkt voraus-
gesetzt, n die rr-Koordinate von 2V, dann hat dabei die Kugel, deren
Mittelpunkt auf MN die ^-Koordinate b hat, den Radius r, der be-
stimmt ist durch r* = b(b — tz). Die Kugeln der zweiten Schar von
Krümmungslinien gehen alle durch M und N. Auf jeder dieser
letzten Kugeln ist die zugehörige Krümmungslinie eine Isogonal-
trajektorie des Büschels von (Klein-) Kreisen, das aus der Kugel
von dem Ebenenbüschel mit der Achse MN ausgeschnitten wird.
Dies gibt, mit Nr.29 zusammengehalten:
Man erhält die allgemeinste Fläche, welche von sämtlichen Krei-
sen durch zwei feste, eigentliche Punkte M, N, die nicht auf derselben
isotropen Geraden liegen, unter einem konstanten Winkel a — der
VI und F2 erfüllt — geschnitten wird, in der folgenden Weise: In
der mittelsenkrechten Ebene zu MN wählt man eine beliebige Kurve
(Ca) Nr. 18} und bestimmt sämtliche Kugeln, welche durch M
und N hindurchgehen und ihren Mittelpunkt auf haben. Dann
sucht man eine eigentliche, reguläre Orthogonaltrajektorie (K} dieses
Systems von Kugeln und legt durch jeden Punkt von (X) auf der zu-
gehörigen Kugel diejenige Kurve (A), welche die vom Ebenenbüschel
mit der Achse MN aus der Kugel ausgeschnittenen Kreise unter dem
konstanten Winkel a trifft. Die Gesamtheit dieser Kurven (Ä} erzeugt
die gesuchte Fläche.
§ 13.
Die Flächen [P] mit anisotroper gerader Leitlinie.
56. Nach Nr. 33 kann man jede auf einer Fläche [P] liegende
Kurve (C'a) als Leitkurve für die Erzeugung der Fläche verwenden.
Im Anschlüsse hieran mögen als einfachstes Beispiel die Flächen [P]
betrachtet werden, welche eine anisotrope Gerade g enthalten1.
1 Der spezielle Fall der Flächen [P] mit isotropen Geraden soll hier nicht
behandelt werden. Beispiele solcher Flächen sind die drei Flächenkvon Nr. 45
(Schnitt mit der Ebene z = 0) sowie die Drehflächen anisotroper Achse von
Nr.3|5.