DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0065
Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 65
Zunächst kann g nicht durch 0 gehen. Denn da die erzeu-
gende Spirale ihren Pol in 0 hat und immer g treffen muß, wäre
sonst der Kegel [X] das Ebenenbüschel mit der Achse g. Es läge
der Fall der ersten Drehfläche von Nr. 35 vor, welche keine aniso-
trope Gerade durch 0 enthält, da sie keine Ebene und kein Dreh-
kegel ist.
Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, die Ebene (Og^ kann
anisotrop oder isotrop sein. Zunächst sei der erste Fall vorausgesetzt;
diese Fläche möge mit [Pj a] bezeichnet werden; in dem recht-
winkligen, räumlichen Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt
O sei g bestimmt durch die Gleichungen z/ = 0, z = k^ der Schnitt-
punkt von g mit der Z-Achse heiße G. Die Tangentialebenen von
[Pj längs g sind die Ebenen des Büschels mit der Achse g.
Ist T ein Punkt von g, r dessen Tangentialebene, l die Tan-
gente der logarithmischen Krümmungslinie in T, dann trifft nach
Nr. 20 das Lot n aus 0 auf r die Gerade l x; die Ebene e durch n
und l enthält diese Krümmungslinie. Da n in der TZ-Ebene liegt
und OT mit l den Schnittwinkel a der Fläche einschließt, hat die
Ebene e demnach die Eigenschaft, daß sie, durch 0 gehend, die
XZ- und TZ-Ebene in zwei Geraden schneidet, die, unabhängig
von der Wahl von T, miteinander den festen Winkel n/2 — a
bilden.
57. Setzt man wieder cotga = a, dann ist die Gleichung von e
(60)
, t^k2+t2 .
kx + - =- • y — t • z = 0 ,
dabei ist wegen der in der Einleitung geforderten Eindeutigkeit
der Funktionen eines der beiden Vorzeichen zu wählen; der Über-
gang von einem Vorzeichen zum andern entspricht einer Spiege-
lung an der AZ-Ebene. Die Ebenen e umhüllen den zu ge-
hörenden Kegel [K1?a], dessen Gleichung man durch Elimination
von t aus der aus (60) folgenden Gleichung
(61) t\y2 + z2}-2i3kxz^t2k2{x2+y2-a2z2') + 2a2tkzxz-a2k^x2 = Q
1 Die1 Schnittpunkte der Geraden n und l liegen auf dem Kreise mit
dem Durchmesser OG in der KZ-Ebene.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abh.
5
(A. 10) 65
Zunächst kann g nicht durch 0 gehen. Denn da die erzeu-
gende Spirale ihren Pol in 0 hat und immer g treffen muß, wäre
sonst der Kegel [X] das Ebenenbüschel mit der Achse g. Es läge
der Fall der ersten Drehfläche von Nr. 35 vor, welche keine aniso-
trope Gerade durch 0 enthält, da sie keine Ebene und kein Dreh-
kegel ist.
Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, die Ebene (Og^ kann
anisotrop oder isotrop sein. Zunächst sei der erste Fall vorausgesetzt;
diese Fläche möge mit [Pj a] bezeichnet werden; in dem recht-
winkligen, räumlichen Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt
O sei g bestimmt durch die Gleichungen z/ = 0, z = k^ der Schnitt-
punkt von g mit der Z-Achse heiße G. Die Tangentialebenen von
[Pj längs g sind die Ebenen des Büschels mit der Achse g.
Ist T ein Punkt von g, r dessen Tangentialebene, l die Tan-
gente der logarithmischen Krümmungslinie in T, dann trifft nach
Nr. 20 das Lot n aus 0 auf r die Gerade l x; die Ebene e durch n
und l enthält diese Krümmungslinie. Da n in der TZ-Ebene liegt
und OT mit l den Schnittwinkel a der Fläche einschließt, hat die
Ebene e demnach die Eigenschaft, daß sie, durch 0 gehend, die
XZ- und TZ-Ebene in zwei Geraden schneidet, die, unabhängig
von der Wahl von T, miteinander den festen Winkel n/2 — a
bilden.
57. Setzt man wieder cotga = a, dann ist die Gleichung von e
(60)
, t^k2+t2 .
kx + - =- • y — t • z = 0 ,
dabei ist wegen der in der Einleitung geforderten Eindeutigkeit
der Funktionen eines der beiden Vorzeichen zu wählen; der Über-
gang von einem Vorzeichen zum andern entspricht einer Spiege-
lung an der AZ-Ebene. Die Ebenen e umhüllen den zu ge-
hörenden Kegel [K1?a], dessen Gleichung man durch Elimination
von t aus der aus (60) folgenden Gleichung
(61) t\y2 + z2}-2i3kxz^t2k2{x2+y2-a2z2') + 2a2tkzxz-a2k^x2 = Q
1 Die1 Schnittpunkte der Geraden n und l liegen auf dem Kreise mit
dem Durchmesser OG in der KZ-Ebene.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abh.
5