Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 73
sehen Sinne1, da sich nicht durch ein zweifach unendliches System,
von Kollineationen jeder Punkt der Fläche in jeden andern trans-
formieren läßt, dagegen gehört sie zu den Flächen, welche von
den FF-Kurven eines Systems erzeugt werden, die eine feste Kurve
schneiden. Die feste Kurve ist irgendeine Kurve der Fläche [Pj],
welche nicht FF-Kurve der Transformationen (57) ist und in keiner
isotropen Ebene durch pa liegt.
Diese isotropen Ebenen durch pa gehen bei den Transforma-
tionen in sich über. Die nicht in diesen beiden Ebenen liegenden
FF-Kurven sind hier zylindrisch-konische Schraubenlinien als Iso-
gonaltrajektorien der Erzeugenden von Drehkegeln mit der
Achse p und der Spitze 0. Führt man räumliche Polarkoordinaten
r, 92, ip ein, wobei in der üblichen Weise ip von der XF-Ebene aus
gemessen ist, 9? in der XF-Ebene von der X-Achse aus, dann be-
schreibt ein Punkt P mit dem anisotropen Werte ip eine FF-Kurve
auf dem zugehörigen Drehkegel (dessen Erzeugende mit der
Kegelachse pa den Winkel tc/2 — xp einschließen), deren konstanter
Schnittwinkel e mit den Kegelerzeugenden gegeben ist durch
(67)
COS -ip
tgs =
a • sin c>
e ist anisotrop für cosip 4= ±ia-sm<7. Hat y> einen dieser beiden
Werte, dann führt dies auf eine isotrope Kurve des betreffenden
Kegels.
66. Mittels der vorhergehenden Betrachtungen läßt sich zu-
nächst die Gleichung der Fläche [P|] ableiten, indem man als
Basis der erzeugenden FF-Kurven eine der logarithmischen Krüm-
mungslinien (L) in einer Tangentialebene von wählt. Der
Pol 0 der Fläche sei wieder der Koordinatenanfangspunkt, die
anisotrope Achse pa des Kegels die Z-Achse, die F-Achse möge so
gewählt werden, daß die Basisspirale (L) in einer Ebene durch die
F-Achse liegt und durch den Einheitspunkt der F-Achse hindurch-
geht. Irgendein Punkt P von [P|] mit den Polarkoordinaten
r, <p, ist aus einem Punkte PL der Grundspirale entstanden, dessen
Polarkoordinaten sich berechnen zu
1 F. Klein et S. Lie, Sur une certaine famille de courbes et des surfaces.
Comptes rendus 70, 1870, p. 1222.
(A. 10) 73
sehen Sinne1, da sich nicht durch ein zweifach unendliches System,
von Kollineationen jeder Punkt der Fläche in jeden andern trans-
formieren läßt, dagegen gehört sie zu den Flächen, welche von
den FF-Kurven eines Systems erzeugt werden, die eine feste Kurve
schneiden. Die feste Kurve ist irgendeine Kurve der Fläche [Pj],
welche nicht FF-Kurve der Transformationen (57) ist und in keiner
isotropen Ebene durch pa liegt.
Diese isotropen Ebenen durch pa gehen bei den Transforma-
tionen in sich über. Die nicht in diesen beiden Ebenen liegenden
FF-Kurven sind hier zylindrisch-konische Schraubenlinien als Iso-
gonaltrajektorien der Erzeugenden von Drehkegeln mit der
Achse p und der Spitze 0. Führt man räumliche Polarkoordinaten
r, 92, ip ein, wobei in der üblichen Weise ip von der XF-Ebene aus
gemessen ist, 9? in der XF-Ebene von der X-Achse aus, dann be-
schreibt ein Punkt P mit dem anisotropen Werte ip eine FF-Kurve
auf dem zugehörigen Drehkegel (dessen Erzeugende mit der
Kegelachse pa den Winkel tc/2 — xp einschließen), deren konstanter
Schnittwinkel e mit den Kegelerzeugenden gegeben ist durch
(67)
COS -ip
tgs =
a • sin c>
e ist anisotrop für cosip 4= ±ia-sm<7. Hat y> einen dieser beiden
Werte, dann führt dies auf eine isotrope Kurve des betreffenden
Kegels.
66. Mittels der vorhergehenden Betrachtungen läßt sich zu-
nächst die Gleichung der Fläche [P|] ableiten, indem man als
Basis der erzeugenden FF-Kurven eine der logarithmischen Krüm-
mungslinien (L) in einer Tangentialebene von wählt. Der
Pol 0 der Fläche sei wieder der Koordinatenanfangspunkt, die
anisotrope Achse pa des Kegels die Z-Achse, die F-Achse möge so
gewählt werden, daß die Basisspirale (L) in einer Ebene durch die
F-Achse liegt und durch den Einheitspunkt der F-Achse hindurch-
geht. Irgendein Punkt P von [P|] mit den Polarkoordinaten
r, <p, ist aus einem Punkte PL der Grundspirale entstanden, dessen
Polarkoordinaten sich berechnen zu
1 F. Klein et S. Lie, Sur une certaine famille de courbes et des surfaces.
Comptes rendus 70, 1870, p. 1222.