Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 75
Man bestätigt durch direkte Rechnung, daß [Pf] durch die
Transformationen (57) in sich übergeht, [Pf] durch (58), und daß
ja und fi die in Nr. 35 angegebene Differentialgleichung (28) der
Flächen [P] erfüllen.
67. Bei den Transformationen (57) bleiben die Winkel er-
halten. co sei die Normalebene zu pa durch 0. Sie geht durch die
Kollineationen (57) in sich über und enthält in ihren absoluten
Punkten zwei Fundamentalpunkte der Transformationen. Jeder
Punkt Q von co, der nicht auf einer der beiden isotropen Geraden
von 0 aus liegt, beschreibt eine logarithmische Spirale (LQ) mit dem
Pol 0 und dem Schnittwinkel d, der nach (67) gegeben ist durch
(68)
1
tg(5 = —_—
a sin g
Ein eigentlicher Raumpunkt P, der nicht in co, auf dem isotropen
Kegel aus 0 oder in einer isotropen Ebene durch pa liegt, liefert
als Kurve (W) nach Nr. 65 eine zylindrisch-konische Schrauben-
linie. Sie liegt auf dem logarithmischen Zylinder [Z], der sich
senkrecht zu co über der Spirale (Lq) erhebt, welche die Orthogo-
nalprojektion Q von P auf co liefert.
Die zylindrisch-konischen Schraubenlinien sind als Schnitt-
kurven je zweier algebraischer Flächen algebraisch, wenn (Lq)
algebraisch, d. h. tg<5 ein rationales Vielfaches von i ist. Im ein-
fachsten Fall ist
(69) a sin er = ± i.
Hier sind die Spiralen (Le) isotrope Gerade die durch & par-
allel zu pa gelegten Ebenen sind isotrop und berühren den abso-
luten Kegelschnitt in einem der beiden Punkte, in denen er von
den Drehkegeln um pa berührt wird. Die Kurven (tl) sind hier
parabolische Kreise in diesen Parallelebenen. Eine Ausnahme
machen nur die Punkte der hierzu nicht parallelen isotropen Ebene
durch pa\ sie beschreiben zu pa parallele Gerade. Nach Gl. (66), die
mit (69) gleichbedeutend ist, deckt sich diese Fläche [Pf] mit der
Fläche [P1; J von Nr. 61 und 62.
Die weiteren Ausführungen gelten wieder allen Typen der
Fläche [Pf], auch denen mit transzendenten IV-Kurven.
(A. 10) 75
Man bestätigt durch direkte Rechnung, daß [Pf] durch die
Transformationen (57) in sich übergeht, [Pf] durch (58), und daß
ja und fi die in Nr. 35 angegebene Differentialgleichung (28) der
Flächen [P] erfüllen.
67. Bei den Transformationen (57) bleiben die Winkel er-
halten. co sei die Normalebene zu pa durch 0. Sie geht durch die
Kollineationen (57) in sich über und enthält in ihren absoluten
Punkten zwei Fundamentalpunkte der Transformationen. Jeder
Punkt Q von co, der nicht auf einer der beiden isotropen Geraden
von 0 aus liegt, beschreibt eine logarithmische Spirale (LQ) mit dem
Pol 0 und dem Schnittwinkel d, der nach (67) gegeben ist durch
(68)
1
tg(5 = —_—
a sin g
Ein eigentlicher Raumpunkt P, der nicht in co, auf dem isotropen
Kegel aus 0 oder in einer isotropen Ebene durch pa liegt, liefert
als Kurve (W) nach Nr. 65 eine zylindrisch-konische Schrauben-
linie. Sie liegt auf dem logarithmischen Zylinder [Z], der sich
senkrecht zu co über der Spirale (Lq) erhebt, welche die Orthogo-
nalprojektion Q von P auf co liefert.
Die zylindrisch-konischen Schraubenlinien sind als Schnitt-
kurven je zweier algebraischer Flächen algebraisch, wenn (Lq)
algebraisch, d. h. tg<5 ein rationales Vielfaches von i ist. Im ein-
fachsten Fall ist
(69) a sin er = ± i.
Hier sind die Spiralen (Le) isotrope Gerade die durch & par-
allel zu pa gelegten Ebenen sind isotrop und berühren den abso-
luten Kegelschnitt in einem der beiden Punkte, in denen er von
den Drehkegeln um pa berührt wird. Die Kurven (tl) sind hier
parabolische Kreise in diesen Parallelebenen. Eine Ausnahme
machen nur die Punkte der hierzu nicht parallelen isotropen Ebene
durch pa\ sie beschreiben zu pa parallele Gerade. Nach Gl. (66), die
mit (69) gleichbedeutend ist, deckt sich diese Fläche [Pf] mit der
Fläche [P1; J von Nr. 61 und 62.
Die weiteren Ausführungen gelten wieder allen Typen der
Fläche [Pf], auch denen mit transzendenten IV-Kurven.