76 (A. 10)
Richard Baldus:
68. Auf jeder anisotropen Geraden q in a> liegt ein Punkt Q
so, daß QO mit q den (isotropen oder anisotropen) Steigwinkel d
einschließt. Im System der Transformationen (57) umhüllt q die
Spirale (L2), die deshalb mit (L?) bezeichnet werde1. Eine Ge-
rade l parallel pa, die nicht in einer isotropen Ebene durch pa liegt,
beschreibt einen der oben erwähnten logarithmischen Zylinder [Zj.
Ist r eine anisotrope Gerade, die pa nicht schneidet, zu pa
nicht senkrecht steht und co nicht in einem Punkte der von O
ausgehenden isotropen Geraden trifft, dann durchläuft r eine Regel-
fläche [7?], deren Erzeugende Tangenten an den Zylinder [Z] sind,
welchen die Kurve (L9) liefert, die von der Projektion q von r auf
co umhüllt wird. Außerdem haben die Erzeugenden von [7?] kon-
stante Neigung gegen co und ihre Schnittpunkte mit co liegen auf
einer logarithmischen Spirale (Lq).
Eine anisotrope Ebene e, die nicht parallel oder senkrecht zu
co ist und nicht durch O geht, umhüllt in den Transformationen
(57) eine abwickelbare Regelfläche, deren Tangentialebenen kon-
stante Neigung gegen co haben und co in den Tangenten einer
logarithmischen Spirale (L?) schneiden. Die Rückkehrkante der
abwickelbaren Regelfläche ist eine Kurve (iE).
69. Durch Überlegungen, die den bei den IT-Kurven2 * so
fruchtbringenden Schluß weisen entsprechen, läßt sich nun im An-
schluß an Nr. 67 eine Fülle von Eigenschaften der Fläche [P2]
angeben, aus denen einige herausgegriffen seien:
a) Die Ebene co schneidet [T5^] in einer Menge von kongruen-
ten logarithmischen Spiralen (L) mit dem Schnittwinkel ö (Gl. (68))
und dem Pol 0, die im Falle algebraischer logarithmischer Krüm-
mungslinien endlich, sonst abzählbar unendlich ist. Jede solche
Spirale entsteht aus einem Schnittpunkte der Grundspirale von
Nr. 66 mit co.
b) Jeder logarithmische Zylinder [Zj mit der Achse pa und
dem Schnittwinkel d der Grundspirale schneidet die Fläche in
Kurven (PT), ebenso jeder anisotrope Drehkegel mit der Spitze O
und der Achse pa.
1 Bei isotropem <5 ist q = (Lq) eine isotrope Gerade.
2 Vgl. außer Klein-Lie a. a. O. noch F. Klein et S. Lie, Sur une cer-
taine famille de courbes et de surfaces. Comptes rendus, 70, 1870, p. 127.
Richard Baldus:
68. Auf jeder anisotropen Geraden q in a> liegt ein Punkt Q
so, daß QO mit q den (isotropen oder anisotropen) Steigwinkel d
einschließt. Im System der Transformationen (57) umhüllt q die
Spirale (L2), die deshalb mit (L?) bezeichnet werde1. Eine Ge-
rade l parallel pa, die nicht in einer isotropen Ebene durch pa liegt,
beschreibt einen der oben erwähnten logarithmischen Zylinder [Zj.
Ist r eine anisotrope Gerade, die pa nicht schneidet, zu pa
nicht senkrecht steht und co nicht in einem Punkte der von O
ausgehenden isotropen Geraden trifft, dann durchläuft r eine Regel-
fläche [7?], deren Erzeugende Tangenten an den Zylinder [Z] sind,
welchen die Kurve (L9) liefert, die von der Projektion q von r auf
co umhüllt wird. Außerdem haben die Erzeugenden von [7?] kon-
stante Neigung gegen co und ihre Schnittpunkte mit co liegen auf
einer logarithmischen Spirale (Lq).
Eine anisotrope Ebene e, die nicht parallel oder senkrecht zu
co ist und nicht durch O geht, umhüllt in den Transformationen
(57) eine abwickelbare Regelfläche, deren Tangentialebenen kon-
stante Neigung gegen co haben und co in den Tangenten einer
logarithmischen Spirale (L?) schneiden. Die Rückkehrkante der
abwickelbaren Regelfläche ist eine Kurve (iE).
69. Durch Überlegungen, die den bei den IT-Kurven2 * so
fruchtbringenden Schluß weisen entsprechen, läßt sich nun im An-
schluß an Nr. 67 eine Fülle von Eigenschaften der Fläche [P2]
angeben, aus denen einige herausgegriffen seien:
a) Die Ebene co schneidet [T5^] in einer Menge von kongruen-
ten logarithmischen Spiralen (L) mit dem Schnittwinkel ö (Gl. (68))
und dem Pol 0, die im Falle algebraischer logarithmischer Krüm-
mungslinien endlich, sonst abzählbar unendlich ist. Jede solche
Spirale entsteht aus einem Schnittpunkte der Grundspirale von
Nr. 66 mit co.
b) Jeder logarithmische Zylinder [Zj mit der Achse pa und
dem Schnittwinkel d der Grundspirale schneidet die Fläche in
Kurven (PT), ebenso jeder anisotrope Drehkegel mit der Spitze O
und der Achse pa.
1 Bei isotropem <5 ist q = (Lq) eine isotrope Gerade.
2 Vgl. außer Klein-Lie a. a. O. noch F. Klein et S. Lie, Sur une cer-
taine famille de courbes et de surfaces. Comptes rendus, 70, 1870, p. 127.