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Victor Goldschmidt:
Reziproke Reihen. Wir sehen: Die beiden Reihen Nn und Nn
werden gegenseitig durch die gleiche Formel ineinander überge-
führt. Komplexe, die diese Eigenschaft haben, wollen wir reziprok
nennen. Es sind sowohl die Reihen als Ganzes, wie jedes Glied
der Reihe reziprok.
Dadurch erweitert sich der Begriff der Reziprozität. Die Be-
ziehung z = | und z = | (z. B. tg = cfg) bildet einen speziellen
Fall der Reziprozität.
Andere Beispiele eines reziproken Paares sind:
1 1 n • ± 1 . _ ± 1
z = ¥zS z = an£ememer t Z=TT
Erstere Transformation ist wichtig in der Formenlehre der
Krystallographie, letztere in der Musiklehre. Sie verknüpft die har-
monischen Zahlen von Dur und Moll. In ihr kommt die Rezi-
prozität von Dur und Moll zum Ausdruck. Dies wird an anderer
Stelle dargelegt.
Reziproke Funktionen. Ich weiß nicht, ob in der Mathematik
der Begriff der reziproken Komplexe und Funktionen (in obigem
Sinn) eingeführt und ausgebildet ist. Wenn nicht, so wäre zu prü-
fen, welche Eigenschaften ein Komplex oder eine Funktion haben
muß, um eine reziproke Gegenfunktion zu besitzen. Es dürften die
reziproken Funktionen berufen sein, wesentlich in die Naturwissen-
schaften einzugreifen, ebenso in die Kunstwissenschaft. Alles Sym-
metrische ist reziprok. In der Musik sind Dur und Moll reziprok
und wir können a priori aussagen, daß die beide verknüpfenden
Funktionen reziproke sind, auch wenn wir noch nicht in der Lage
sind, dieselben aufzustellen.
Spaltung der Normalreihen. In jeder der Normalreihen Nn
sind alle vorhergehenden Normalreihen (Nn—i Nn_2 • • • • N3 N2 Nt No)
enthalten. Wir gewinnen jede vorhergehende Normalreihe aus der
folgenden auf doppelte Weise:
1. Durch Weglassen jedes zweiten Gliedes.
2. Durch Spaltung bei der Dominante (1) und Umformung jeder
Hälfte auf die Form 0 • • * QO.
Ad 1. Weglassen jedes zweiten Gliedes. Wir haben:
Beispiel. N3 = 0 (|) J (f) 1 (f) 2 (3) oo
Victor Goldschmidt:
Reziproke Reihen. Wir sehen: Die beiden Reihen Nn und Nn
werden gegenseitig durch die gleiche Formel ineinander überge-
führt. Komplexe, die diese Eigenschaft haben, wollen wir reziprok
nennen. Es sind sowohl die Reihen als Ganzes, wie jedes Glied
der Reihe reziprok.
Dadurch erweitert sich der Begriff der Reziprozität. Die Be-
ziehung z = | und z = | (z. B. tg = cfg) bildet einen speziellen
Fall der Reziprozität.
Andere Beispiele eines reziproken Paares sind:
1 1 n • ± 1 . _ ± 1
z = ¥zS z = an£ememer t Z=TT
Erstere Transformation ist wichtig in der Formenlehre der
Krystallographie, letztere in der Musiklehre. Sie verknüpft die har-
monischen Zahlen von Dur und Moll. In ihr kommt die Rezi-
prozität von Dur und Moll zum Ausdruck. Dies wird an anderer
Stelle dargelegt.
Reziproke Funktionen. Ich weiß nicht, ob in der Mathematik
der Begriff der reziproken Komplexe und Funktionen (in obigem
Sinn) eingeführt und ausgebildet ist. Wenn nicht, so wäre zu prü-
fen, welche Eigenschaften ein Komplex oder eine Funktion haben
muß, um eine reziproke Gegenfunktion zu besitzen. Es dürften die
reziproken Funktionen berufen sein, wesentlich in die Naturwissen-
schaften einzugreifen, ebenso in die Kunstwissenschaft. Alles Sym-
metrische ist reziprok. In der Musik sind Dur und Moll reziprok
und wir können a priori aussagen, daß die beide verknüpfenden
Funktionen reziproke sind, auch wenn wir noch nicht in der Lage
sind, dieselben aufzustellen.
Spaltung der Normalreihen. In jeder der Normalreihen Nn
sind alle vorhergehenden Normalreihen (Nn—i Nn_2 • • • • N3 N2 Nt No)
enthalten. Wir gewinnen jede vorhergehende Normalreihe aus der
folgenden auf doppelte Weise:
1. Durch Weglassen jedes zweiten Gliedes.
2. Durch Spaltung bei der Dominante (1) und Umformung jeder
Hälfte auf die Form 0 • • * QO.
Ad 1. Weglassen jedes zweiten Gliedes. Wir haben:
Beispiel. N3 = 0 (|) J (f) 1 (f) 2 (3) oo