Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

Umständen alle Hauptidealringe der eben gekennzeichneten Art als
„Ringe vom Typus der ganzen Zahlen“ bezeichnen.1)
Neben die Ringe vom Typus der ganzen Zahlen ist noch eine
zweite, besonders einfache und wichtige Art von Hauptidealringen
zu stellen, als deren klassischer Vertreter das Restklassensystem nach
einer ganzen natürlichen Zahl anzusehen ist. Hier treten im Gegen-
satz zu dem vorher untersuchten Typus Nullteiler auf, aber dafür ist
jeder Nichtnullteiler Einheit, d. h. es ist stets die Gleichung r • x = rE
durch ein Element x unseres Ringes R lösbar, falls r kein Nullteiler
ist, und falls r£ das oben erwähnte Einheitselement der Multiplikation
von R bedeutet. Die allgemeinen Ringe dieser Art sind die von Herrn
Fraenkel2) untersuchten zerlegbaren Ringe. Sie sind hinsichtlich der
Multiplikation im wesentlichen genau so gebaut wie das Restklassen-
system nach einer natürlichen Zahl, es läßt sich nämlich die Null, auf
deren Produktzerlegung es hier hauptsächlich ankommt, im wesentlichen
eindeutig als Produkt von Primteilern darstellen.
Das hauptsächlichste Ergebnis der vorliegenden Arbeit besagt
nun: Jeder Hauptidealring läßt sich als eindeutige Summe
von endlich viel Ringen vom Typus der ganzen Zahlen
und von endlich viel zerlegbaren Ringen darstellen,
es genügt also die Kenntnis dieser beiden Typen zur Beherrschung
der allgemeinsten Hauptidealringe.
Der Beweis dieses in seiner Einfachheit bemerkenswerten Resul-
tates ist nicht schwierig, man braucht dabei nur einige wenige Grund-
begriffe aus der Idealtheorie, die in § 1 eingeführt werden. Mit ihrer
Hilfe kann man dann, wie in § 2 und § 3 gezeigt wird, die Theorie
der regulären bzw. der Nullteilerideale eines beliebigen Hauptideal-
rings entwickeln. Dabei ergibt sich eine Zerlegung des gegebenen
Ringes in endlich viel „spezielle“ Ringe, von denen wir dann in § 4
zeigen, daß sie sämtlich zerlegbare Ringe odei' Ringe vom Typus der
ganzen Zahlen sind, womit unser Hauptsatz bewiesen ist.

§ 1. Grundbegriffe der Ideal- und Ringtheorie.3)
Unter einem „Ring“ verstehen wir in üblicher Weise ein System
von Elementen, die durch „Addition“ und „Multiplikation“ verknüpft
b Zu den Ringen vom Typus der ganzen Zahlen gehört nach dieser Defi-
nition z. B. auch der Ring der Polynome einer Variabein mit rationalen Zahl-
koeffizienten (oder allgemeiner: mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper').
2) „Über die Teiler der Null und Zerlegung von Ringen“ Journal für
Math. 45 p. 139—176. Diese Arbeit wird im folgenden mit „F“ zitiert.
3) Vergl. zu diesem Paragraphen F§1, N §1 sowie Krull: „Algebraische
Theorie der Ringe 1“. Math. Annal. 88 p. 80—122, § 1 und § 2.