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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0008
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Wolfgang Krull:
eine Gleichung a — b ■ c und mithin die Idealgleichung (a) = (0 • (c)
Dabei können dann nach dem Hilfssatz die Elemente a und c nicht
äquivalent sein, d. h. (c) ist ebenso wie (&) ein echter Teiler von (a).
Satz 2. Jedes reguläre Ideal läßt sich eindeutig als
Produkt von Primidealpotenzen darstellen.
Um zunächst die Möglichkeit der Produktzerlegung nachzuweisen,
zeigen wir, daß aus der vorausgesetzten Existenz eines regulären Ideals a,
das sich nicht als Produkt von endlich viel Primidealen darstellen läßt,
ein Widerspruch gegen den Satz von der endlichen Kette folgt. In
der Tat, das bewußte Ideal a kann jedenfalls nicht Primideal sein,
wir haben daher nach Satz 1 eine Gleichung a = a1-a2, wobei cij, und
a2 echte Teiler von a sind. Wären nun qx und a2 beide als Produkt
von endlich viel Primidealen darstellbar, so gälte offenbar das gleiche
für a. Wir dürfen daher annehmen, daß etwa keine derartige Dar-
stellung zuläßt. Dann aber muß eine Gleichung cp = an • a12 bestehen,
wobei an und a12 echte Teiler von cp sind, und etwa au nicht als Pro-
dukt von endlich viel Primidealen darstellbar ist. Wir können daher
auf an dieselbe Schlußweise anwenden wie vorher auf a und ax und
gelangen so zur Konstruktion einer ins unendliche laufenden echten
Teilerkette. Da die Existenz einer solchen Kette ausgeschlossen ist,
so kann auch kein Ideal a der bewußten Art existieren, wir finden
mithin für jedes reguläre Ringideal r eine Gleichung t = pj P2.P’G
oder, bei Zusammenfassung gleicher Faktoren, r = pf’ • p$2 • • • • p=P'. Daß
die Darstellung eindeutig bestimmt ist, ergibt sich nach dem in der
Zahlentheorie üblichen Schlußschema:
Ist r = pj1 • p ’2 • • • • p 1 • P j2 • • ‘ wobei die Ideale p{ und
jeweils untereinander verschieden sind, so muß p-L unter den Prim-
idealen px, p2---po- vorkommen, weil sonst pj zu den Primidealen p15
p2’”Pcr und mithin nach einem in § 1 angeführten Satz auch zu r
teilerfremd wäre. Ist nun etwap1 = p1, so schließt man gleichfalls mit
Benutzung der Sätze über teilerfremde Ideale, daß p j1 = pj1 sein muß,
und daraus folgt noch insbesondere s,1 = S’1J weil nach einer oben ge-
machten Bemerkung sämtliche Potenzen eines regulären Ideals verschie-
den sind. Durch Fortsetzung des Verfahrens erkennt man, daß 0 = 0
und bei geeigneter Numerierung allgemein p^jh, ist.
P Von der hier zum ersten Male benutzten Tatsache, daß bei Hauptideal-
ringen stets aus der Kongruenz a = 0 (b) das Bestehen einer Gleichung a = b-c
folgt, werden wir in den nächsten Paragraphen immer wieder Gebrauch machen.
Die Möglichkeit dieses Schlusses beruht übrigens, wie leicht zu sehen, im wesent-
lichen darauf, daß wir wissen, daß b Hauptideal ist; daß a die gleiche Eigen-
schaft besitzt, ist hier nebensächlich.
Wolfgang Krull:
eine Gleichung a — b ■ c und mithin die Idealgleichung (a) = (0 • (c)
Dabei können dann nach dem Hilfssatz die Elemente a und c nicht
äquivalent sein, d. h. (c) ist ebenso wie (&) ein echter Teiler von (a).
Satz 2. Jedes reguläre Ideal läßt sich eindeutig als
Produkt von Primidealpotenzen darstellen.
Um zunächst die Möglichkeit der Produktzerlegung nachzuweisen,
zeigen wir, daß aus der vorausgesetzten Existenz eines regulären Ideals a,
das sich nicht als Produkt von endlich viel Primidealen darstellen läßt,
ein Widerspruch gegen den Satz von der endlichen Kette folgt. In
der Tat, das bewußte Ideal a kann jedenfalls nicht Primideal sein,
wir haben daher nach Satz 1 eine Gleichung a = a1-a2, wobei cij, und
a2 echte Teiler von a sind. Wären nun qx und a2 beide als Produkt
von endlich viel Primidealen darstellbar, so gälte offenbar das gleiche
für a. Wir dürfen daher annehmen, daß etwa keine derartige Dar-
stellung zuläßt. Dann aber muß eine Gleichung cp = an • a12 bestehen,
wobei an und a12 echte Teiler von cp sind, und etwa au nicht als Pro-
dukt von endlich viel Primidealen darstellbar ist. Wir können daher
auf an dieselbe Schlußweise anwenden wie vorher auf a und ax und
gelangen so zur Konstruktion einer ins unendliche laufenden echten
Teilerkette. Da die Existenz einer solchen Kette ausgeschlossen ist,
so kann auch kein Ideal a der bewußten Art existieren, wir finden
mithin für jedes reguläre Ringideal r eine Gleichung t = pj P2.P’G
oder, bei Zusammenfassung gleicher Faktoren, r = pf’ • p$2 • • • • p=P'. Daß
die Darstellung eindeutig bestimmt ist, ergibt sich nach dem in der
Zahlentheorie üblichen Schlußschema:
Ist r = pj1 • p ’2 • • • • p 1 • P j2 • • ‘ wobei die Ideale p{ und
jeweils untereinander verschieden sind, so muß p-L unter den Prim-
idealen px, p2---po- vorkommen, weil sonst pj zu den Primidealen p15
p2’”Pcr und mithin nach einem in § 1 angeführten Satz auch zu r
teilerfremd wäre. Ist nun etwap1 = p1, so schließt man gleichfalls mit
Benutzung der Sätze über teilerfremde Ideale, daß p j1 = pj1 sein muß,
und daraus folgt noch insbesondere s,1 = S’1J weil nach einer oben ge-
machten Bemerkung sämtliche Potenzen eines regulären Ideals verschie-
den sind. Durch Fortsetzung des Verfahrens erkennt man, daß 0 = 0
und bei geeigneter Numerierung allgemein p^jh, ist.
P Von der hier zum ersten Male benutzten Tatsache, daß bei Hauptideal-
ringen stets aus der Kongruenz a = 0 (b) das Bestehen einer Gleichung a = b-c
folgt, werden wir in den nächsten Paragraphen immer wieder Gebrauch machen.
Die Möglichkeit dieses Schlusses beruht übrigens, wie leicht zu sehen, im wesent-
lichen darauf, daß wir wissen, daß b Hauptideal ist; daß a die gleiche Eigen-
schaft besitzt, ist hier nebensächlich.