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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0011
Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.
11
das der Gleichung p?-p = (0) genügt, und zwar ist in diesem
letzteren Falle stets: p?==p'='rl=.x)
Wir zeigen nun weiter, daß zu jedem Nullteilerprimideal p tatsäch-
lich ein endlicher Exponent g existiert, so daß p?=p?+1 wird, und zwar
ergibt sich diese Behauptung als Folgerung aus nachstehendem Satz.
Satz 5. Jedes Nullteilerideal a läßt sich in der Form
a = P-pi1 -j^2' ‘ To-° darstellen, wobei r ein reguläres Ideal
und die p< Nullteilerprimideale bedeuten.
Der Beweis von Satz 5 wird auf Grund von Satz 3 und seinen
Folgerungen genau so geführt, wie der auf die Existenz der Zerlegung
bezügliche Teil des Beweises von Satz 2 auf Grund von Satz 1. Wir
halten uns daher nicht weiter damit auf und ziehen die für uns wich-
tigen Folgerungen. Wählen wir für ci insbesondere das Nullideal, so
erhalten wir eine Zerlegung (0) — pjj1 • pf2 • ■ • pj/7 (hier kann ja der regu-
läre Faktor offenbar weggelassen werden). Da nun jedes Ideal Teiler
des Nullideals ist, so muß jedes Primideal in einem der Nullteiler-
primideale hi, p2"’h°' aufgehep, und daraus folgt insbesondere, daß
jedes Nullteilerprimideal mit einem der Ideale px, p2 ••• pö identisch
sein muß.
Es gibt also in II nur die endlich vielen Nullteilerprimideale, die
bei einer Produktdarstellung der Null auftreten. Daraus folgt sofort,
daß zu jedem Nullteilerprimideal p ein endlicher Exponent g und ein
nicht durch p teilbares Ideal p existiert, äo daß ps • p = (0) wird.
Man braucht nur, wenn die Gleichung (0) = pS1 • p/2 ■ • • • pjF pi 4: p
(i = 2, 3 ••• o) gilt, g = g-j p = p2e2 pj0- zu setzen. Angesichts
des oben über die Potenzen eines Nullteilerprimideals gewonnenen
Resultates können wir jetzt feststellen:
Satz 6. Zu jedem Nullteilerprimideal p gibt es einen end-
lichen Exponenten g, so daß pg = ps+x — • • • wird.
Als wesentliche Folgerung von Satz 6 ergibt sich:
Satz 7. Zwei verschiedene Nullteilerprimideale sind teiler-
fremd.
Wir beweisen unsern Satz in der folgenden Form:
Ist (0) = pj?i • • • ■ p (pi p/; für i £ /J, und setzt man t/ü = ZZ p
so ist (q<x\ q<2> • • • q«*>) = 0.
D Aus dem gewonnenen Ergebnis ergibt sich, daß die Potenzen des Null-
teilerprimideals p im Sinne der allgemeinen Idealtheorie „primär“ sind, d. li. daß
ein Produkt zweier Ideale nur dann durch p’ teilbar sein kann, wenn das gleiche
von einem Faktor oder von einer endlichen Potenz jedes Faktors gilt.
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das der Gleichung p?-p = (0) genügt, und zwar ist in diesem
letzteren Falle stets: p?==p'='rl=.x)
Wir zeigen nun weiter, daß zu jedem Nullteilerprimideal p tatsäch-
lich ein endlicher Exponent g existiert, so daß p?=p?+1 wird, und zwar
ergibt sich diese Behauptung als Folgerung aus nachstehendem Satz.
Satz 5. Jedes Nullteilerideal a läßt sich in der Form
a = P-pi1 -j^2' ‘ To-° darstellen, wobei r ein reguläres Ideal
und die p< Nullteilerprimideale bedeuten.
Der Beweis von Satz 5 wird auf Grund von Satz 3 und seinen
Folgerungen genau so geführt, wie der auf die Existenz der Zerlegung
bezügliche Teil des Beweises von Satz 2 auf Grund von Satz 1. Wir
halten uns daher nicht weiter damit auf und ziehen die für uns wich-
tigen Folgerungen. Wählen wir für ci insbesondere das Nullideal, so
erhalten wir eine Zerlegung (0) — pjj1 • pf2 • ■ • pj/7 (hier kann ja der regu-
läre Faktor offenbar weggelassen werden). Da nun jedes Ideal Teiler
des Nullideals ist, so muß jedes Primideal in einem der Nullteiler-
primideale hi, p2"’h°' aufgehep, und daraus folgt insbesondere, daß
jedes Nullteilerprimideal mit einem der Ideale px, p2 ••• pö identisch
sein muß.
Es gibt also in II nur die endlich vielen Nullteilerprimideale, die
bei einer Produktdarstellung der Null auftreten. Daraus folgt sofort,
daß zu jedem Nullteilerprimideal p ein endlicher Exponent g und ein
nicht durch p teilbares Ideal p existiert, äo daß ps • p = (0) wird.
Man braucht nur, wenn die Gleichung (0) = pS1 • p/2 ■ • • • pjF pi 4: p
(i = 2, 3 ••• o) gilt, g = g-j p = p2e2 pj0- zu setzen. Angesichts
des oben über die Potenzen eines Nullteilerprimideals gewonnenen
Resultates können wir jetzt feststellen:
Satz 6. Zu jedem Nullteilerprimideal p gibt es einen end-
lichen Exponenten g, so daß pg = ps+x — • • • wird.
Als wesentliche Folgerung von Satz 6 ergibt sich:
Satz 7. Zwei verschiedene Nullteilerprimideale sind teiler-
fremd.
Wir beweisen unsern Satz in der folgenden Form:
Ist (0) = pj?i • • • ■ p (pi p/; für i £ /J, und setzt man t/ü = ZZ p
so ist (q<x\ q<2> • • • q«*>) = 0.
D Aus dem gewonnenen Ergebnis ergibt sich, daß die Potenzen des Null-
teilerprimideals p im Sinne der allgemeinen Idealtheorie „primär“ sind, d. li. daß
ein Produkt zweier Ideale nur dann durch p’ teilbar sein kann, wenn das gleiche
von einem Faktor oder von einer endlichen Potenz jedes Faktors gilt.