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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0012
12
Wolfgang Krull :
In der Tat folgt aus der letzteren Gleichung die Teilerfremdheit
von p^ und p/f für i 4 Je, weil jeder gemeinsame Teiler von p^ und pz.
auch Teiler von (qtb, q(2)... q(<?)) sein muß, und andrerseits zieht, wie leicht
zu sehen, die Teilerfremdheit zweier beliebigen pf die Gleichung
(q(1), q(2)' • • q(cr)) nach sich.
Was nun das Ideal o' = (q(1) q(2)- • • q(cr)) angeht, so muß o' zunächst
regulär sein, weil es durch keines der Nullteilerprimideale p15 P2 ’ ’' ho
teilbar sein kann. Weiter haben wir D,2 = •-q(i> • q® • • •), wobei i
und Je unabhängig voneinander die Werte l,2---o durchlaufen. Nun
ist aber q(i).q<Ä) für i 4 Je durch pj’' ■ qw teilbar und folglich gleich dem
Nullideal, während für i= Je wir die Gleichung = 11^= q(ü
haben. Es ist mithin o'2 = (q(1), q(2\ • ■■ q(<r)) = o'. Ein reguläres Ideal,
das der Gleichung i/ = ü' genügt, ist aber nach den Ergebnissen von
§ 2 mit dem Einheitsideal identisch.
Es ist also, wie behauptet, o' — 0. Aus der Teilerfremdheit der
Nullteilerprimideale ergibt sich unmittelbar der folgende Satz, der
übrigens auch ohne Benutzung dieser Eigenschaft bewiesen werden könnte.
Satz 8. Ist (0) = pp p|n, wobei die Nullteilerprimideale
hu h2 ’ ’ ‘ ho sämtlich verschieden sind, so sind die Fak-
toren p^1, •••ptfr eindeutig bestimmt. Die Exponenten
sind nur dann eindeutig, wenn wir sie so klein wählen,
daß p^1 4 p^ ausfällt.
Mit dem Beweis von Satz 8, der sich leicht aus den beim Ein-
deutigkeitsbeweis von Satz 2 angewandten Schlüssen, sowie aus den
oben über die Nullteilerpiimidealpotenzen gemachten Bemerkungen
ergibt, halten wir uns ebensowenig auf wie mit dem Beweise von Satz 5.
Wir wenden uns vielmehr der oben bewiesenen Gleichung o=(q(1),q(2)-q(<r))
zu, aus der wir schließen, daß sich jedes Element aus R in der Form
a = ß(2) +• • • • darstellen läßt, wobei aW ein gewisses Element
aus dem Ideale q® bedeutet. Diese Darstellung ist eindeutig. Hat
man nämlich a — «(1) 4- a(2) + • • ■ + &(2) + • • • • 6(<T), so folgt
aus der Gleichung 0 = (a(1) — &(1)) + («(2) — &(2)) -j-daß die
Differenz uW— J(<) nicht nur durch das Ideal q(t), sondern auch durch
das Ideal p?* teilbar sein muß, weil ja jede der Differenzen aW — b™
(/t- 4 i~) durch p^ teilbar ist. Wegen der Teilerfremdheit von pj* und
q(ö folgt daraus aber, daß a(ü — auch durch das Produkt q(i) ■ p?£ = (0)
teilbar und folglich gleich 0 sein muß.1) Wir wollen das eindeutig
b Ist nämlich q(i) eine Basis von qü), so haben wir «(ö — b(’) = g(<) . a' und
hier muß a' wegen ((r/W), tj’j = 0 durch p?1 teilbar sein. — Zu der Tatsache,
daß in beliebigen Ringen aus den Beziehungen a = - 0 (fit) (u l, 2);(a1,n7) = 0
stets die Kongruenz a = o (m .02) folgt, vergl. N § 8 p, 53.
Wolfgang Krull :
In der Tat folgt aus der letzteren Gleichung die Teilerfremdheit
von p^ und p/f für i 4 Je, weil jeder gemeinsame Teiler von p^ und pz.
auch Teiler von (qtb, q(2)... q(<?)) sein muß, und andrerseits zieht, wie leicht
zu sehen, die Teilerfremdheit zweier beliebigen pf die Gleichung
(q(1), q(2)' • • q(cr)) nach sich.
Was nun das Ideal o' = (q(1) q(2)- • • q(cr)) angeht, so muß o' zunächst
regulär sein, weil es durch keines der Nullteilerprimideale p15 P2 ’ ’' ho
teilbar sein kann. Weiter haben wir D,2 = •-q(i> • q® • • •), wobei i
und Je unabhängig voneinander die Werte l,2---o durchlaufen. Nun
ist aber q(i).q<Ä) für i 4 Je durch pj’' ■ qw teilbar und folglich gleich dem
Nullideal, während für i= Je wir die Gleichung = 11^= q(ü
haben. Es ist mithin o'2 = (q(1), q(2\ • ■■ q(<r)) = o'. Ein reguläres Ideal,
das der Gleichung i/ = ü' genügt, ist aber nach den Ergebnissen von
§ 2 mit dem Einheitsideal identisch.
Es ist also, wie behauptet, o' — 0. Aus der Teilerfremdheit der
Nullteilerprimideale ergibt sich unmittelbar der folgende Satz, der
übrigens auch ohne Benutzung dieser Eigenschaft bewiesen werden könnte.
Satz 8. Ist (0) = pp p|n, wobei die Nullteilerprimideale
hu h2 ’ ’ ‘ ho sämtlich verschieden sind, so sind die Fak-
toren p^1, •••ptfr eindeutig bestimmt. Die Exponenten
sind nur dann eindeutig, wenn wir sie so klein wählen,
daß p^1 4 p^ ausfällt.
Mit dem Beweis von Satz 8, der sich leicht aus den beim Ein-
deutigkeitsbeweis von Satz 2 angewandten Schlüssen, sowie aus den
oben über die Nullteilerpiimidealpotenzen gemachten Bemerkungen
ergibt, halten wir uns ebensowenig auf wie mit dem Beweise von Satz 5.
Wir wenden uns vielmehr der oben bewiesenen Gleichung o=(q(1),q(2)-q(<r))
zu, aus der wir schließen, daß sich jedes Element aus R in der Form
a = ß(2) +• • • • darstellen läßt, wobei aW ein gewisses Element
aus dem Ideale q® bedeutet. Diese Darstellung ist eindeutig. Hat
man nämlich a — «(1) 4- a(2) + • • ■ + &(2) + • • • • 6(<T), so folgt
aus der Gleichung 0 = (a(1) — &(1)) + («(2) — &(2)) -j-daß die
Differenz uW— J(<) nicht nur durch das Ideal q(t), sondern auch durch
das Ideal p?* teilbar sein muß, weil ja jede der Differenzen aW — b™
(/t- 4 i~) durch p^ teilbar ist. Wegen der Teilerfremdheit von pj* und
q(ö folgt daraus aber, daß a(ü — auch durch das Produkt q(i) ■ p?£ = (0)
teilbar und folglich gleich 0 sein muß.1) Wir wollen das eindeutig
b Ist nämlich q(i) eine Basis von qü), so haben wir «(ö — b(’) = g(<) . a' und
hier muß a' wegen ((r/W), tj’j = 0 durch p?1 teilbar sein. — Zu der Tatsache,
daß in beliebigen Ringen aus den Beziehungen a = - 0 (fit) (u l, 2);(a1,n7) = 0
stets die Kongruenz a = o (m .02) folgt, vergl. N § 8 p, 53.