Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.

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bestimmte Element ad) als Komponente des Elementes a“ be-
zeichnen und können dann feststellen:
Zwei Elemente werden addiert, bzw. multipliziert, in-
dem man ihre Komponenten addiert, bzw. multipliziert
oder in Formeln, es ist stets: (ad)-|-a(2)-4-^(<D)-|-(J(i)_p^(2)_|-
6(ff)) = (ad) + &d)) + (a(2) + ö(2)). + .... (a(<T) + fe(<7)).
Für die Addition ist unsere Behauptung unmittelbar evident, für
die Multiplikation ergibt sie sich, wenn man nach dem distributiven
Gesetz multipliziert und bedenkt, daß für i f k das Element ad) • ö®
durch das Ideal gd). = (0) teilbar sein und folglich verschwinden
muß. Die Gesamtheit der Elemente, bei denen nur die Kompo-
nente von 0 verschieden ist, also die Gesamtheit der Elemente des
Ideals qd) bildet ersichtlich einen Bing fid), und zwar besitzt dieser
Bing ein Einheitselement. Ist nämlich re —2(1) + 5(2)_|—^(<9, so haben
wir r£2 — gd)2 _p ^(2)2_|_..^(ö)2 Und daraus folgt wegen der eindeutigen
Bestimmtheit der Komponenten gd)2 — qW, Ist nun a ein beliebiges
Bingelement, so haben wir a = a • r£ — a • gd) _l_ a . ^(2) -(-••• a- qW, und
insbesondere ergibt sich für ein Element ad) aus q(t) die Gleidhung
«W = gd) . ad). Das Element q^> spielt also tatsächlich in Bd) die
Bolle des universellen Einheitselementes.
Wir wollen nun den Bing B die „eindeutige Summe der
Binge Bd), B^2) • • • • B<a)“ nennen, wenn sich jedes Element aus B ein-
deutig als Summe je eines Elementes aus Bd), B(2)...R(ff) darstellen läßt,
und wenn außerdem zwei Elemente addiert bzw. multipliziert. werden,
indem man ihre Komponenten hinsichtlich der Binge Bd) addiert bzw.
multipliziert.
Bei dieser Ausdrucksweise können wir das gewonnene Ergebnis
folgendermaßen zusammenfassen.
Satz 9. Besteht für das Nullideal eines Hauptidealringes B
er
die Gleichung (0) = Tipp’, wobei die untereinander
i»i
verschiedene Nullteilerprimideale bedeuten, so läßt
sich B als eindeutige Summe von o „speziellen“ Bin-
gen mit Einheitselement Bd), B(2)- •• B(cr) darstellen, wo-
bei Bd) aus der Gesamtheit der Elemente des Ideals
qd) = 77 pp besteht1).
i
9 Dieser Satz 9 ergibt sich aus der Teilerfremdheit der Ideale pp, pj2...
auf Grund von allgemeinen Sätzen der Idealtheorie.
Vergl. Noether - Schmeidler : „Moduln in nichtkommutativen Bereichen“,
Math. Zeitschrift 8 (1920) p. 1—35; § 4, sowie Krull, Algebraische Theorie der