Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

§ 4. Untersuchung der speziellen Ringe B(i) und Beweis des Hauptsatzes.
Wir wenden uns nun zum näheren Studium der Ringe PP\ die
wir am Schluß des vorangehenden Paragraphen eingeführt haben, und
weisen nach, daß diese Ringe von besonders einfachem Bau sind. Daß
sie ein Einheitselement besitzen, wurde bereits oben gezeigt. Wir be-
weisen weiter:
Die Ringe Rd) sind Hauptidealringe.
In der Tat, ist ad) ein beliebiges Element aus Rd), so haben wir
nach einem oben gewonnenen Ergebnis ad) — a(t). Daraus
folgt, daß das Produkt von ad) mit einem beliebigen Ringelement a aus
R sich auch als Produkt von ad) mit dem in Rd) enthaltenen Elemente
a-gd) darstellen läßt. Aus der Definition des Ideals, und insbesondere
des Hauptideals ergibt sich mit Hilfe dieses Resultates aber, daß ein
beliebiges Ideal a aus Rd) auch Ideal in R ist, und daß jede Basis von
a in R auch in Rd) Basis ist.
Wir fragen nun weiter nach den Nullteilerprimidealen in Rd) und
erhalten das grundlegende Ergebnis:
Es gibt in Rd) nur ein Nullteilerprimideal, nämlich qd).pd).
Die ?ite Potenz dieses Ideals wird gleich dem Null-
ideal.
Der letzte Teil unserer Behauptung, aus dem hervorgeht, daß qd)-pd)
in Rd) Nullteilerideal ist, ist trivial. Um die Richtigkeit des ersten
Teils einzusehen, braucht man sich nur zu überlegen, daß jedes Null-
teilerideal aus Rd) durch qd).pd) teilbar sein muß. In der Tat, ist ad)
ein beliebiges Ideal aus Rd), so haben wir zunächst ad)=ad).qd). Ist
nun ad) nicht durch p?-, teilbar, so ist es zu pU teilerfremd. Haben
wir daher in Rd); ad)-öd) — (0), so muß ad) durch pp teilbar sein. Dann
aber ist öd) = äd).qd) durch pp-qd) teilbar und mithin gleich dem Null-
ideal, d. li. jedes nicht durch p?- ■ qd) teilbare Ideal ist in Rd) regulär.
Mit Hilfe der ermittelten Eigenschaften des Ringes Rd) zeigen wir jetzt:
Satz 10. Gibt es in einem Ringe Rd) einen von 0 verschie-
denen Nullteiler, so ist jedes reguläre Element aus
Rd) Einheit.
Ringe II Math. Annal. 91 (1924) § 2, Hilfssatz. Ve'rgl. ferner zu dem vorliegen-
den Paragraphen die entsprechende Darstellung für die zerlegbaren Ringe F. § 4,
sowie Masazo Sono: On Congruences IV. Memoirs of the College of Science,
Kyoto Imperial University, Vol. III Nr. 10. 1919. p. 300—308, insbesondere § 2
und § 3. Die ausführliche Herleitung unseres Satzes wurde hier gegeben, weil
sie kaum mehr Platz beansprucht, als die Darstellung der Sachlage bei Be-
rufung auf die angegebenen Arbeiten.