Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser

Damit hieraus und aus 3 die bekannte Beziehung:
(5) th p-th = 1 = th ao
hervorgeht, muß man annehmen, daß zwischen den imaginären
Punkten und ihren Bildern auf der Kugel auch die Beziehung 3 besteht.
Spezielle Fälle:
Besonders einfach gestalten sich die Formeln, wenn man den
Radius der Kugel durch die Gleichung definiert: shx=l.
Dann ist der Abbildungsbereich gegeben durch den Kreis mit
dem Radius:

AE = ~. Die Abbildung geschieht durch die Formel:

thp = tgp'.
Nimmt man dagegen an:


Fig. 2.

sh % — i, so wird Gleichung 3 iden-
tisch. Die hyperbolische Ebene kann als
Kugel mit imaginärem Radius aufgefaßt
werden.
II. Die A b s t an d s fl ä ehe.
Die Stelle des Mittelpunkts vertritt
jetzt die Ebene 00"'. AB't ist die
Abstandsfläche, die von 00'" den kon-
stanten Abstand x hat. Die Ebene AE
werde dadurch abgebildet, daß von jedem
Punkt ein Lot auf 00'" gefällt wird. Da
die Achsenstrecken 00' usw. die Win-
kel (p bei der ersten Abbildung ersetzen,

so seien sie mit demselben

Buchstaben mit einem Querstrich darüber

bezeichnet.

Die reellen Punkte bilden sich ab auf dem Kreis mit dem Radius:

(1') AU=x'chx oder:
AE-
Die Abbildungsformel lautet hier:
(3') th q = ch x th —*—
ch x
Den zu B gehörigen Punkt Bi der Ebene AE erhält man analog
wie im Fall der Kugel. Man errichte in B das Lot B C und ziehe
die gemeinsame Senkrechte mit 00'", dann ist diese der abbildende
Strahl, der dem Punkte B^ den Punkt B^ auf der Abstandsfläche
zuordnet. Hier tritt aber ein Unterschied gegen die Abbildung auf